平面向量的数量积及运算律（4篇）(3)

来源：网络收集时间：2025-11-07

导读： (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习： 1 下列叙述不正确的是（） a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律 c 向量的数量积满足结合

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系

四、课堂练习：

1 下列叙述不正确的是（）

a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律

c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数

2 已知| |=6,| |=4, 与的夹角为60°，则( +2 )•( -3 )等于（）

a 72 b -72 c 36 d -36

3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（）

a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直

4 已知| |=3,| |=4,且与的夹角为150°，则( + )2＝

5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=

6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与－λ 垂直，则λ＝

参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±

五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题

六、课后作业

1 已知| |=1,| |= ,且( - )与垂直，则与的夹角是（）

a 60° b 30° c 135° d 45°

2 已知| |=2,| |=1, 与之间的夹角为，那么向量＝ -4 的模为

a 2 b 2  c 6 d 12

3 已知、是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（）

a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件

c 充要条件 d 既不充分也不必要条件

4 已知向量、的夹角为，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=

5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =

6 已知 ⊥ 、与、的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2＝______

7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若、的夹角为60°，求| + |；(3)若 - 与垂直，求与的夹角

8 设、是两个单位向量，其夹角为60°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角 

9 对于两个非零向量、，求使| +t |最小时的t值，并求此时与 +t 的夹角

参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11

7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛

即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（－）2＝ 2－2 • ＋ 2

上述两公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用

2 应用举例

例1 已知｜｜＝2，｜｜＝5， • ＝－3，求｜＋｜，｜－｜

解：∵｜＋｜2＝（＋）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23

∴｜＋｜＝，∵（｜－｜）2＝（－）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，

∴｜－｜＝ .

例2 已知｜｜＝8，｜｜＝10，｜＋｜＝16，求与的夹角θ(精确到1°)

解：∵（｜＋｜）2＝（＋）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜｜2＋2｜｜•｜｜cosθ＋｜｜2

∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，

∴cosθ＝，∴θ≈55°

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