平面向量的数量积及运算律（4篇）

篇一：平面向量的数量积及运算律 篇一

教学目的：

1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4 掌握向量垂直的条件

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律

教学过程：

一、复习引入：

1. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐标表示

分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得

把 叫做向量 的（直角）坐标，记作

4.平面向量的坐标运算

若 ， ，

则  ，  ，

若 ， ，则

5. ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ

p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，

使  =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7 定比分点坐标公式：

若点p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比

8 点p的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点

②当λ＜0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点

9 线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点o，设 ＝ ， ＝ ，

可得 =

10.力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角

二、讲解新课：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角

说明：（1）当θ＝0时， 与 同向；

（2）当θ＝π时， 与 反向；

（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180

2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有   = | || |cos，

（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，写成  ；今后要学到两个向量的外积 × ，而  是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若  ，且  =0，不能推出 =  因为其中cos有可能为0

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c

但是   =       =

如右图：   = | || |cos = | ||oa|，  = | || |cos = | ||oa|

    =     但  

(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是(  )    (  )

显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线

3.“投影”的概念：作图

定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义：

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积

5.两个向量的数量积的性质：

设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1    =    =| |cos

2        = 0

3 当 与 同向时，   = | || |；当 与 反向时，   = | || |

特别的   = | |2或

4  os =

5|  | ≤ | || |

三、讲解范例：

例1 判断正误，并简要说明理由

① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，则对任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 • ＝0；

对于②：应有0• ＝ ；

对于④：由数量积定义有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，这里θ是 与 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；

对于⑤：若非零向量 、 垂直，有 • ＝0；

对于⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；

对于⑦：若 与 共线，记 ＝λ

则 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），

∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）

若 与 不共线，则( • ) ≠（ • ）

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝6，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 •

解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝0°，

∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；

若 与 反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，

∴ • ＝0；

③当 与 的夹角是60°时，有

• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种 …… 此处隐藏：2973字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……