数学《当代中学生报》(2)

2

2

2

c22c2

化简得：c?3bc?b?0，两边同时除以b，可得(2)?32?1?0，

bb

4

22

4

4

3c23?1c1

?2???解得.

则. 2b22b2

13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的

端点在圆周上．若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为().

（A

1 （B）

2（C

1 （D）

2

13.D 分别过点C,D作AB的垂线，垂足分别为F,E，连结OD,设?AOD??,

4

则OE?OF?2cos?,AD?BC

＝

等腰梯形ABCD

的周长l?4?4cos??

?22

?t,则cos??1?t，所以l?4?4?

1?t????4?t??10 ，

??

所以当t?此

2

即??60时，lmax?10, 2

时

，

AD?2,BD??,

因为A,B为双曲线的焦点，D点在双曲线上，所以实轴长

2a?DB?DA?2.

14.若在区间?1,5?和?2,6?内各取一个数，分别记为a和

x2y

2

b，则方程2?2?1?a?b?().

ab

（A）

1517311

（B） （C） （D）

2332322

14.B由题意知横轴为a，纵轴为b，建立直角坐标系，先作出满足题意的a、b的可行

a5,?1剟

23c?

b6,并求出其面积为域?2剟，又由双

曲线的离心率小

于得1??，则

2a?a?b,

?

0?

b

?2，即b?2a?a?0,b?0?，再作出虚线b?2a，并求出其在可行域内的端点坐标a

15

，所以所求概

2

分别为A?1,2?、B?3,6?，由此可求出可行域范围内满足b?2a的面积为

5

第二篇范文：2016年当代中学生报泄露天机卷数学理科

2016年当代中学生报泄露天机卷（数学理科）

编审：本报数学研究中心

一、选择题

1. 复数z为纯虚数，若?3?i??z?a?i（i为虚数单位），则实数a的值为（）. A．

11

B．3 C．?D．?3 33

222

2. 已知M?y?R|y?x,N?x?R|x?y?2，则M?N?（ ）.

????

A．?(?1,1),(1,1)?B

．? C．?0,1? D．?1?

?3. 已知命题p:?x?0，x3?0，那么?p是（ ）.

3

≤0 A．?x?0，x3≤0 B．?x0≤0，x0

3

≤0 C．?x?0，x3≤0 D．?x0?0，x0

????

????

4. 若非零向量a,b(a?b)?(3a?2b)，则a与b的夹角为（）. A. ? B.

?

2

C.

3?? D. 44

5. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）.

1

2

2

正视图

2

俯视图

侧视图

2

A．20?2? B．20?3? C．24?2? D．24?3?

6. 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且满足于（）.

A．1B．2C．4 D．6

7. 直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M,N两点，

若MN?则k

2

2

S3S2

??1，则数列?an?的公差d等32

的取值范围是（）. A．[?

323,0] B．(??,?]?[0,??)C

．[? D．[?,0] 43433

8.已知函数f?x??cos?2x?短为原来的

?

?

??

??x?R?，将y?f?x?的图象上所有的点的横坐标缩4?

1

倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移?个单位长度，所得的图象关于2

原点对称，则?的一个值是（）. A.

3?5?3?3?

B.C.D.

16 1648

9. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中

国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（）.

202310218A.A1818种 B.A20种 C.A3A18A10种 D.A2A18种

10.函数f(x)?xecosx(x?[??,?])的图象大致是（）.

11. 如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形

ABCD各边的长度（单位：km）：AB?B5,C

则AC的长为（ ）．

?C8,DD3,?A5?，且?B与?D互补，

A．7kmB．8km C．9km D．6km

12. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，18，则输出的a等于（ ）.

A．2 B．4C．6D．8

13. 下列说法正确的是（）.

22

A．“若a?1，则a?1”的否命题是“若a?1，则a?1”

B．?an?为等比数列，则“a1?a2?a3”是“a4?a5”的既不充分也不必要条件 C．?x0????,0?，使30?40成立

x

x

D．

“ant????

?

3

”

14. 设正实数a，b满足a?b?1，则（ ）. A.

111

?有最大值

有最小值

4ab

2

22

a?

b有最小值

15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.

A

．??

B

．2??C

．2? D

．?33

16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，给出以下结论： ① 直线A1B与B1C所成的角为60?；

②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D

所成角的正弦值的取值范围是； ③ 若P，Q是线段AC上的动点，且PQ?1，则四面体B1D1PQ

其中，正确结论的个数是（ ）

.

A．0个B．1个C．2个 D．3个

17. 设k是一个正整数，在（1+)k的展开式中，第四项的系数为

x

k12

，记函数y?x与16

y?kx的图象所围成的阴影部分面积为S，任取x?[0,4]，y?[0,16]，则点(x,y)恰好

落在阴影区域S内的概率是（ ）.A．

2121 B． C． D． 3356

k

a1?1,a2k?a2k?1???1?,a2k?1?a2k?2k?k?N*?，18. 已知数列?an?中，则?an?的

前60项的和S60?（）.

3132

A．2?154 B．2?124 C．2?94 D．2

3132

?124

19. 抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足?AFB＝

2

?

3

．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则

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