《经济数学基础12》作业(四)讲评2017

第一篇范文：《经济数学基础12》作业(三)讲评2011

《经济数学基础》作业（三）讲评

（一）填空题

?104?5???1.设矩阵A?3?232，则A的元素a23?__________.答案：3 ________????216?1??

T

2.设A,B均为3阶矩阵，且?B??3，则?2AB=________. 答案：?72 3

解 ?2ABT?（-2）ABT??8AB??8?3?3??72

分析：解答本题注意当A是n阶方阵时，kA?knA，在应用行列式乘法法则时注意行列

T

式的性质，行列式转置值不变，即A?A。（本题考试不要求！）

3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)2?A2?2AB?B2成立的充分必要条件是 .答案：AB?BA

分析：注意矩阵乘法没有交换律，即一般说来AB?BA，若AB=BA，则称A与B是可交换的，故一般说来(A?B)2?A2?2AB?B2;(A?B)(A?B)?A2?B2，只有A与B可交换时，上式才成立。

矩阵乘法也没有消去率，即一般说来，由AB=AC推不出B=C,只有当A是可逆矩阵时，才能推出B=C.

还要注意两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵（这与数的乘法不同），即一般说来，由AB=o推不出A=o或B=o,以上是学习矩阵乘法时务必要注意的。

____. 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I?B)可逆，则矩阵A?BX?X的解X?__________

答案：(I?B)A

?1

解?A?BX?X,X?BX?A,(I?B)X?A,?X?(I?B)?1A ?

?1?100?

????1

5. 设矩阵A?020，则A?__________.答案：A??0??

???00?3???0??

分析：对角矩阵的逆矩阵就是把其主对角上的元素写成倒数，由AA

?1?1

120

?0??0? ?1??3??

?I很容易验证。

?1

注意：两个同阶方阵的乘积是单位阵，则这两个矩阵都可逆，且A?B,B?A

例（09年1月考题）设A?AB?I,则A?1?_____.

解:因为A?AB?I，所以A(I?B)?I,由可逆矩阵定义知，A-1?I?B,且(I-B)?A.

答案填：I?B

（二）单项选择题

1. 以下结论或等式正确的是（ ）．

A．若A,B均为零矩阵，则有A?B

B．若AB?AC，且A?O，则B?C

C．对角矩阵是对称矩阵

D．若A?O,B?O，则AB?O 答案C

分析：注意矩阵乘法没有交换律，没有消去律，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，故B,D错，而两个矩阵相等必须是同形矩阵且对应元素相等，故A错，由对称矩阵的定义知，对角矩阵是对称阵，所以选C.

-1

?1?23?

?,当a?____时，A是对称阵。例（08年1月考题）设A???251??

???3a0?

答案填:1

2. 设A为3?4矩阵，B为5?2矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（ ）矩阵． A．2?4 B．4?2

C．3?5 D．5?3 答案A

分析：由矩阵乘法定义，AC有意义，则C的行数应等于A的列数，即C的行数为4；CB有意义，则C的列数应等于B的行数，故C的列数应等于2，所以C是2?4矩阵。 3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）． `

A．(A?B)

?1

T

T

TT

T

?A?1?B?1， B．(A?B)?1?A?1?B?1

C．AB?BA D．AB?BA答案C

解AB?AB?BA?BA，而(A?B)?1?B?1?A?1，所以选C.

分析：熟练掌握转置矩阵、逆矩阵的性质，矩阵乘法需注意的问题。

例（08年7月考题）设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A. (ABT)-1=A-1(B-1)T B. (AB)T=ATBTC. (AB)=BA D. (AB)=BA 答案选：D

4. 下列矩阵可逆的是（）．

T-1

-1-1

T

T

T

）。

?123???10?1????? A．023 B．101 ???????003???123??

C．?

?11??11?

D．??22?答案A 00????

分析：矩阵A可逆的充分必要条件是A是满秩矩阵，所以选A.（二阶矩阵是不是满秩

矩阵应能看出来，即两行对应元素不成比例则满秩）

?1?11???5. 矩阵A?20?1的秩是（ ）． ????1?34??

A．0B．1C．2 D．3 答案C

?1?11??1?11??1?11?

?20?1???02?3???02?3?，所以秩(A)=2 解：????????1?34????0?23????000??

分析：用初等行变换把矩阵化成阶梯型矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。

?1?11?

?的秩为____.答案2

例（09年7月考题）矩阵?20?1??

??1?34??

?045?

?,则r(A)?(例（08年1月考题）设A=?123??

??006??

A0B1C2D3 答案选D

三、解答题 1．计算 （1）?

)

??21??01?

???

?53??10?

解?

??21??01??1?2?

??10?=?35? 53??????

分析：注意矩阵乘法是行乘列法则，熟练掌握矩阵乘法是教学的重点要求，也是考试重点。 （2）?

?02??11?

???

?0?3??00?

?02??11??00?解???00???00?

0?3??????

分析：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

??3?0?

（3）??1254????

??1??2????3?0?

解??1254????=?0?

??1??2??

?2．计算?123???124??245???122??1??0?

??32???43???61?

?1???23?1????3?27??

?解 ?123???122????124????245???7197??24??712?1?32???1431????610??0??4?7?????61????23????3?27????0???3?2?2? =?515

?1110?

????3?2?14??

分析：要熟练掌握矩阵的加、减，乘、转置的运算、：

例（2010年1月考题）设矩阵A=?1-2???43??

,I为单位阵，则(I?A)T

?__.答案：??0?4??2?2?

?

?3．设矩阵A??23?1??111??123?，B??112?11??，求

。

??1??0????01??

解 因为AB?AB

23?1232

A?11

1?112?(?1)2?3

(?1)

220?110?10

12

?2

5?0?7?

??

123

1

2

3

B?112?0-1-?0

011011

所以?AB?2?0?0

说明：有关方阵行列式考试不做要求！

?1244．设矩阵A????2?1?，确定?的值，使r(A)最小。?0? ?11??

??

?124??124??1

24??124?解 ??2?1???110???0-1-4???0-1-4???110???????

，????2?1????0??4-7????9??0??

40??

所以当??9

4

时秩最小，r(A)=2.

??2?5321?5．求矩阵A??

5?854 …… 此处隐藏：1211字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……