网络名师小班辅导教案-初中数学第7讲分式化简的技巧学生版

第七讲 分式化简的技巧

中考要求

知识点睛

比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：

ac

ad bc，比例的两外项之积等于两内项之积. bd

ab

c d ( 交换内项 )

ac dc

⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( 交换外项 )

bdba

db

c a ( 同时交换内外项 ) acbd

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：

bdac

aca bc daca kbc kd

⑷ 合比性： ，推广： （k为任意实数）

bdbdbdbd

⑸ 等比性：如果

基本运算

acma c ... ma .... ，那么 （b d ... n 0） bdnb d ... nb

aca c

分式的乘法：

bdb d

acada d

分式的除法：

bdbcb c

n个

anaaaa a aan

乘方：() ＝ n(n为正整数)

bbbbb b b b

n个

n个

整数指数幂运算性质：

⑴am an am n(m、n为整数) ⑵(am)n amn(m、n为整数) ⑶(ab)n anbn(n为整数)

⑷am an am n(a 0，m、n为整数) 负整指数幂：一般地，当n是正整数时，a n 分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

1

(a 0)，即a n(a 0)是an的倒数 na

aba b

ccc

acadbcad bc

bdbdbdbd

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

重、难点

重难点：灵活对分式进行适当变形

例题精讲

一、基本运算

2x 6x2 x 6

【例1】 计算：⑴ (x 3)

4 4x x23 x

bab

⑵( )2 ( 2)3 ( )4

aba

1

⑶(4mn) ( m2n) 3

2

3 2

4x3 2x23x3x⑷(2 ) (1 ) x2

2x x 1x 1x 1

x2y2

【巩固】 （2008杭州）化简的结果是（ ） y xy x

A． x y

B．y x C．x y D．x y

ab a b

【巩固】 （2008黄冈）计算 的结果为（ ）

a ba

A．

a b

b

B．

a b

b

C．

a b

a

D．

a b

a

2x2 13x2 x 5x2 xx2 2x 6x2 2

【例2】 计算：⑴ ⑵

x 33 xx 3x2 1616 x2

m4 16m2 4m2 2m 4

【巩固】 (第9届希望杯试题)化简：4 (m 2)

m 4m2 16m3 8m2 4m 4

a2 b22112 2

( ) 【巩固】 化简： 2 222

a 2ab bababa b 2ab

a2 (b c)2b2 (c a)2c2 (a b)2

【例3】 化简：

(a c)2 b2(a b)2 c2(b c)2 a2

a a2aa 1 2

【例4】 已知：2 ()，其中a 3

a 1a 1a 1

x2 6x 1 x2 2x 41

【巩固】 当x 时，求代数式 2的值 1 2

x 1x 1x x2

2

a2 b c ab ac a2 a b c12

【巩固】 求代数式的值，其中a 1，b ，c 22222

a ab2ab a ba b23

112482n

【例5】 计算：n(n为自然数) 1 x1 x1 x21 x41 x81 x2

124816

【巩固】 已知f(x) ，求f(2).

1 x1 x21 x41 x81 x16

2

2

二、整体代入运算

【例6】 已知：mx 3y2 3，且nx2 2y 2 x 0，y 1 ．试用x，y表示

x3x2 y2xy y2

【巩固】 已知： ，求2的值

y4x 2xy y2x2 xy

m

． n

【巩固】 已知15x2 47xy 28y2 0，求

【例7】 已知分式

x y

的值是m，如果用x，y的相反数代入这个分式，那么所得的值为n，则m、n是什1 xy

x

的值. y

么关系？

x2(ax5 bx3 cx)

【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式，当x 1时，值为 1，求该代数式42

x dx

当x 1时的值．

4x xy 2y

【例8】 已知2x y 10xy，求代数式的值.

2x 4xy y

x 1y 1

【巩固】 已知：xy 12，x y 4，求的值. y 1x 1

2(a b)4(a b)a b

【巩固】 已知的值. 3，求代数式a b3(a b)a b

115m 7mn 5n

【例9】 已知 1，求的值.

mn2n 3mn 2m

111yx

【巩固】 已知： ，求 的值.

xyx yxy

【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)

1112y 3xy 2x设 ，求

y x 2xyxy4

2x3y4x2 10xy 6y2

5，求【巩固】 如果的值. yx2x2 3y2

三、消元计算

【例10】 已知a 3b，c

2aa b c

，求代数式的值. 3a b c

【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)

2a3x2 ab2y2 3b3xy2

已知2x y (a 3b) 0，求32的值．

3ax ab2y2 2b3xy

a 2b

【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：a2 3b2 2ab，求的值.

a b

a3 3b3 2c3

【例11】 已知：2a 3b c 0，3a 2b 6c 0，且abc 0，求2的值.

ab 7bc2 3a2c

2x 3y z 0

【巩固】 已知方程组: (xyz 0)，求：x:y:z

x 2y 3z 0

【巩固】 (全国数学竞赛)

5x2 2y2 z2

若4x 3y 6z 0，x 2y 7z 0(xyz 0)，求2的值.

2x 3y2 10z2

四、设比例参数

【例12】 (五羊杯试题)已知

345x2 y2 z2

【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知，则=__________. x yy zz xxy yz zx

a 2b 3cb 2c 3ac 3a 2ba 2b 3c

，则=____________.

234a 3b 2c

【补充】（“五羊杯”试题）设x y z u 1， 2x y :1 2y z :2 2z u :3 (2u x):4，则

7x 3y 3z u ___________．

【例13】 (天津市竞赛题)若

【巩固】 若

【巩固】 已知

【例14】 已知

xyzux yy zz uu x

．求的值．

y z uz u xu x yx y zz uu xx yy z

x y zx y z x y z(x y)(y z)(z x)

，求的值. zyxxyz

abcda b c d

的值. ，求

bcdaa b c d

xyz

，求(b c)x (c a)y (a b)z的值.

b c ac a ba b c

【巩固】 （第11届“希望杯”试题）已知p q r 9，且

pqr

2 2，则 x yzy zxz xy

2

px qy rz

的值等于（ ）

x y z

A. 9 B.10 C. 8 D. 7

a2 bcb2 cac2 abx2 yzy2 zxz2 xy

【巩固】 已知. 0(xyz 0)，求证：xyzabc

五、分式与裂项

【例15】 设n为正整数，求证：

1111

... . 1 33 5(2n 1)(2n 1)2

【巩固】 化简：

【例16】 化简：

【巩固】 化简：

【例17】 (河北省数学竞赛题)已知：

xyyzzx

1， 2， 3，求x y z的值. x yy zz x