高中数学必修一 第一章 集合与函数概念(知识网络)

第一章 集合与函数的概念（知识网络）

一、集合

（ 1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ）

（ 2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （ 3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（ 子集：若x A x B，则A B，即A是B的子集。 1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。 2、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 关系 3、对于集合A,B,C,如果A B，且B C,那么A C. 4、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若A B且A B （即至少存在x0 B但x0 A），则A是B的真子集。集合 集合相等：A B且A B A B 集合与集合 定义：A B x/x A且x B 交集 性质：A A A，A ，A B B A，A B A,A B B，A B A B A 定义：A B x/x A或x B 并集 性质：A A A，A A，A B B A，A B A，A B B，A B A B B 运算 Card(A B) Card(A) Card(B)-Card(A B) 定义：CUA x/x U且x A A 补集 性质： (CUA) A ，(CUA) A U，CU(CUA) A，CU(A B) (CUA) (CUB)， C(A B) (CA) (CB) UUU

二、函数

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f： B为从集合A到集合B的一个映射

传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值， 定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y f(x).

近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 定义域 函数及其表示函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法 列表法 图象法

传统定义：在区间 a,b 上，若a x1 x2 b,如f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上递增, a,b 是 递增区间；如f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上递减, a,b 是的递减区间。 单调性 导数定义：在区间 a,b 上，若f(x) 0，则f(x)在 a,b 上递增, a,b 是递增区间；如f(x) 0 a,b 是的递减区间。 则f(x)在 a,b 上递减, 最大值：设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I，都有f(x) M； 函数 （2）存在x0 I，使得f(x0) M。则称M是函数y f(x)的最大值 函数的基本性质 最值 最小值：设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的x I，都有f(x) N； （2）存在x0 I，使得f(x0) N。则称N是函数y f(x)的最小值 (1)f( x) f(x),x 定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。 奇偶性 (2)f( x) f(x),x 定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称

周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(x T) f(x)(T 0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期； T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期

（ 1）描点连线法：列表、描点、连线

向左平移 个单位：y1 y,x1 a x y f(x a) 向右平移a个单位：y y,x a x y f(x a)11 平移变换 向上平移b个单位：x x,y b y y b f(x)11 向下平移b个单位：x x,y 11 b y y b f(x)

横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w 1时）或伸长（当0 w 1时） 到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x wx y f(wx)1 伸缩变换 纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A 1)或缩短（0 A 1)到原来的A倍1

函数图象的画法 （横坐标不变）， 即y1 y/A y f(x) （ x x1 2x0x 2x0 x 2）变换法 1 2y0 y f(2x0 x) 关于点(x0,y0)对称： y y1 2y0y1 2y0 y 关于直线x x0对称：x x1 2x0 x1 2x0 x y f(2x0 x) y y1 y1 y 对称变换 x x1x x 关于直线y y0对称： 1 2y0 y f(x) y1 y 2y0y1 2y0 y x x1 1 y f(x) 关于直线y x对称：y y1

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y tanx中x k

2(k Z)；

余切函数y cotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x) g(x)在这个区间上也为增（减）函数

2、若f(x)为增（减）函数，则 f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x 0处有定义，则f(0) 0，如果一个函数y f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x) 0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数y f(u)和u g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数

f(x) 1

2f(x)的定义域关于原点对称，则12f(x)可以表示为[f(x) f( x)] [f(x) f( x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。