2014年人教A版选修4-5教案 一 数学归纳法

一 数学归纳法

教学要求

了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点与难点

重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．

难点：数学归纳法中递推思想的理解．

教学过程

一、引入

1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.

回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2. 练习：已知f(n) 1 3 5 2n 1 ,n N*，猜想f(n)的表达式，并给出证明？ 过程：试值f(1) 1，f(2) 4，…，→ 猜想f(n) n2 → 用数学归纳法证明.

3. 练习：是否存在常数a、b、c使得等式1 3 2 4 3 5 ...... n(n 2)

切自然数n都成立，试证明你的结论.

二、讲授新课

1. 教学数学归纳法的应用：

① 出示例1：证明：n3+5n能够被6整除

分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n=k的式子上，如何同补？

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除.

分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk

=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y－x).

③例3、平面内有n n 3 个点，其中任何三点都不在同一条直线上。过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论

④ 出示例4：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.

分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，1n(an2 bn c)对一6

故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.

2. 练习：

① 求证

: (1 1)(1 ) (1

② 用数学归纳法证明：

（Ⅰ）72n 42n 297能被264整除；

（Ⅱ）an 1 (a 1)2n 1能被a2 a 1整除（其中n，a为正整数）

③ 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

三、巩固练习： 1. 练习：

2. 作业： 3、4、6题. 131) n∈N*）. 2n 1