2018-2019学年高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点练习 新人

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1 2.4.1 函数的零点

【选题明细表】

1.下列函数不存在零点的是( D ) (A)y=x-

(B)y=

(C)y=

(D)y=

解析:令y=0,得选项A 和C 中的函数零点都为1和-1;选项B 中函数的零点为-,1; 只有选项D

中函数不存在零点.故选D.

2.函数f(x)=的零点个数是( C )

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

解析:法一 x<0时,令x+2=0,得x=-2;

x>0时,令x 2-1=0,得x=1.

所以函数有两个零点,

故选C.

法二 画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.

故选C.

3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )

(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2

(C)f(x)=x 2+4x-5 (D)f(x)=x 2-1

解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,

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2 所以g(x)的零点为1.

由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.

只有选项B 中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.

4.函数f(x)=2x 2

-ax+3有一零点为,则f(1)= . 解析:因为是f(x)=2x 2

-ax+3的零点, 所以2×-a ×+3=0,

所以a=5,所以f(x)=2x 2-5x+3,

所以f(1)=0.

答案:0

5.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,其零点为

x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,则

x 1+x 2+x 3+x 4+x 5= .

解析:由奇函数的对称性知,若f(x 1)=0,

则f(-x 1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,

故x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=0.

答案

:0

6.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a 的取值范围是( B )

(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)

(C)(0,2) (D)(-∞,2]

解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a 的范围是不小于2的实数,故选

B.

7.若方程x 2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k 的取值范围是( C ) (A)[-,-) (B)[-,) (C)[-

,) (D)[-,+∞)

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解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,

即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.

设f(x)=x2-x.

因为f(x)=x2-x=(x-)2-,

所以f(x)min =f()=-,f(x)max =f(-1)=.

所以k∈[-,), 故选C.

8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )

(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1

解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),

因为其图象经过(0,1)点,

所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.

法二设方程两根为x1,x2,由题意得

所以所以a<0.

故选A.

9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.

解析:当a=0时,函数为y=-x-1,

此时函数只有一个零点,

当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,

即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,

所以Δ=1+4a=0,解得a=-.

答案:0或-

10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).

(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;

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4 (2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a 的取值范围.

解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,

所以a=1,所以f(x)=x 2+mx+m-1.

Δ=m 2-4(m-1)=(m-2)2.

当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;

当m ≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.

(2)已知a ≠0,

则Δ=m 2-4a(m-1)>0对于m ∈R 恒成立,

即m 2-4am+4a>0恒成立,

所以Δ′=16a 2-16a<0,

从而解得0<a<1.即实数a 的取值范围为(0,1).

11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax 2+bx-2(a ≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m 的取值范围.

解:(1)由题意知,解得 故函数f(x)的解析式为f(x)=7x 2-13x-2.

(2)设g(x)=7x 2-13x-2-m(x+1)

=7x 2-(13+m)x-(m+2),

由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,

在(1,2)内有一个零点, 所以即 解得解得-4<m<-2,

所以实数m 的取值范围为

(-4,-2).

12.对于函数f(x),若存在x 0∈R,使f(x 0)-x 0=0成立,则称x 0为f(x)的不动点.

已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+(b-1)(a ≠0).

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围.

解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x 2-x-3.

因为x 0是f(x)的不动点, 所以-x 0-3-x 0=0, 即-2x 0-3=0,

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解得x0=-1或x0=3.

所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.

(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,

所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解.

即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,

ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根,

所以b2-4a(b-1)>0恒成立,

即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,

所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.

所以0<a<1.

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