雅可比迭代实验报告

雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告

一、实验题目

分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：

10x1 x2 2x3 7.2 x1 10x2 2x3 8.3 x x 5x 4.223 1

使得误差不超过 0.00001。

二、实验引言

1.实验目的

①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran语言； ②了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。

2.实验意义

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。

三、算法设计

1.雅可比迭代法原理：

设有线性方程组Ax=b 满足aii 0, 将方程组变形为: x=Bx+f, 则雅可比(Jacobi)迭代法是指X(k 1) Bxk f，即 由初始解逐步迭代即可得到方程组的解。 算法步骤如下：

(0)(0), ,xn步骤1.给定初始值x1(0),x2，精度e,最大容许迭代次数M，令k=1。

步骤2.对i=1,2,…,n依次计算

x1 (bj aijxj)/aii(aii 0,i 1,2, ，n)

j 1j in

ei |xi(1) xi(0)|

xi(1) xi(0)

步骤3.求出e max{ei}，若e ，则输出结果xi(0)(i 1,2, ,n)，停止计算。1 i n

否则执行步骤4.

步骤4.若k M,k 1 k,转步骤2继续迭代。若k M,表明迭代失败，停止计算。

2.算法流程图

四、程序设计

program jacobi

implicit none

integer::i,j

integer::k

save k

real,parameter::e=0.001

integer,parameter::n=3

real::x(n),y(n),b(n)

data b/7.2,8.3,4.2/

real::D

real::a(n,n)

open (unit=10,file='1.txt')

data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/

write(10,*)"**********矩阵A的形式为**********"

write(10,"(1x,3f6.2,/)")a

forall(i=1:n)

x(i)=0

end forall

k=0

100 D=0

do i=1,n

y(i)=b(i)

do j=1,n

if(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)

end do

y(i)=y(i)/a(i,i)

end do

do j=1,n

D=abs(x(j)-y(j))

end do

forall(i=1:n)

x(i)=y(i)

end forall

if(D>=e) then

k=k+1

write(10,*)"迭代次数为：",k

goto 100

else

goto 200

end if

200 write(10,*)"****************************************"

write(10,*)"用jacobi方法解得的结果X[t]为："

write(10,"(1x,3f6.2,/)")x(:)

stop

end program

五、结果及讨论

1.实验结果

**********矩阵A的形式为**********

10.00 -1.00 -1.00

-1.00 10.00 -1.00

-2.00 -2.00 5.00

迭代次数为： 1

迭代次数为： 2

迭代次数为： 3

迭代次数为： 4

迭代次数为： 5

迭代次数为： 6

迭代次数为： 7

****************************************

用jacobi方法解得的结果X[t]为：

1.10 1.20 1.30

2.讨论分析

（1）误差

从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k增大时，迭代值x1,y1,z1 会越来越逼近方程组的精确解x=1.0,y=1.2,z=1.3。

（2）收敛性

在本题目中, 用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解该线性方程组，得到的近似根是收敛的

六、算法评价

优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。

缺点：迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质（譬如是所谓对角占优阵）以保证过程的收敛性。高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很正确的解。而通常我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在

实际应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。通过该算法以及编程对求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。

附：

高斯—赛德尔程序

program G-S

implicit none

integer::i,j

integer::k

save k

real,parameter::e=0.001

integer,parameter::n=3

real::x(n),y(n),b(n)

data b/7.2,8.3,4.2/

real::D

real::a(n,n)

open (unit=10,file='1.txt')

data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/

write(10,*)"**********矩阵A的形式为**********"

write(10,"(1x,3f6.2,/)")a

forall(i=1:n)

x(i)=0

end forall

k=0

100 D=0

do i=1,n

y(i)=b(i)

do j=1,n

if(i<j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)

if(i>j) y(i)=y(i)-a(i,j)*y(j)

end do

y(i)=y(i)/a(i,i)

end do

do j=1,n

D=abs(x(j)-y(j))

end do

forall(i=1:n)

x(i)=y(i)

end forall

if(D>=e) then

k=k+1

write(10,*)"迭代次数为：",k

goto 100

else

goto 200

end if

200 write(10,*)"****************************************" write(10,*)"用Gauss-seidel方法解得的结果X[t]为：" write(10,"(1x,3f6.2,/)")x(:)

stop

end program

**********矩阵A的形式为**********

10.00 -1.00 -1.00

-1.00 10.00 -1.00

-2.00 -2.00 5.00

迭代次数为： 1

迭代次数为： 2

迭代次数为： 3

迭代次数为： 4

****************************************

用Gauss-seidel方法解得的结果X[t]为：

1.10 1.20 1.30