大一高数期末考试卷[1]

XX大学2010—2011学年第一学期 《高等数学A》考试试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

e x x 0

1.设f(x) ，则 f(x)的一个原函数是 .

x 1 x 0 2.曲线y

11 2x 1

与x轴、y轴和直线x 4所围成的面积是1

，而且曲线经过定点(2,0)，则 2

4 x

3.已知曲线y f(x)上的任一点(x,f(x))的切线斜率是 曲线方程 4.f(x) x4 4x3 12x2 x 1在Ｒ上的零点有.

5.已知f ''(1)存在，且lim

x 0

x

f(e2x)dxx

3

1，则f ''(1) .

二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.已知F(x)具有二阶连续导数F''(x)，则下面正确的是（ ） A.

dF(x) F(x) B. d [F'(x) x]dx [F''(x) 1]dx

2 i

C. dF'(x) F(x) C D. [F'(x) F''(x)]dx F(x) F'(x) C

2n - 1n

2.lim e （ ） n ni 1

A. 2 e dx B. 2 e2 x dx

2

x

1

C. e2 x dx D. e2 x dx

2 1

3.已知F(x)的一阶导数F'(x)在Ｒ上连续，且F(0) 0， 则d xF'(t)dt （ ）

x 0

A. xF'(x)dx B. xF'(x)dx

C. [F(x) xF'(x)dx] D. [F(x) xF'(x)]dx 4.设f(x)的导数在x=a处连续，又lim

x a

f (x)

1，则 （ ） x a

A.x=a是f(x)的极小值点 B.x=a是f(x)的极大值点

C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐 点。

x esin x x 0

5. 设f(x) ，那么 F(x) f(t)dt在点x 0处（ ）

1

x 1 x 0

A. 其连续性无法判定。 B. 是可导的。 C. 是连续的，但不可导。 D. 是不连续的。

三．计算题（本题共6小题，共38分）

e(x 1) sin(x 1) x

1. 求 lim。(6分) 3x 1(x 1)2. 求抛物线 y2 2ax的曲率半径。(6分) 3. 求函数f(x) (x2 3x 9)x的极值和拐点。(6分)

3

1

x 02 2 (1 2x)(1 x)

4.已知函数f(x) ，求 f(1 x)dx。(6分)

01

x 0

2 x 2x 25.求

1

dxxx 1

10

。(7分)

1

1

6.设f(x)可导，f(0) 0，若 f(tx)dt f(x) x2 2x f(x)dx(x R)，求f(x)。(7分)

四. 证明题（22分） 2

1.证明：当x [0,]时，cosx 1 x。 （6分）

2

2.设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f(2) 0，证明：至少存在一点 (1,2)，使得

f '( )ln f( ) 0。 (8分)

3.设f(x)在[0, )上连续且单调减少，试证明对任何b a 0，皆有：

b a1

xf(x)dx [b f(x)dx a a 0 f(x)dx] 。 （8分） 2 0 b

《高等数学A》考试试卷答案

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

x

e x 0

1. F(x) 12

x x 1 x 0 2

2.2 ln2 1x

f(x) arctan

228

4. 2

35．

2

二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1-5. DBDBC

三．计算题（本题共8小题，共38分）

1. 解一：lim

x 1

e

(x 1)3

e sin(x 1) x limx 0(x 1)3

x3

sinx x 1

3

x

1 x3 o(x3) (x lim

x 0

13

x o(x3)) x 1

5 6x3

x3

解二：lim

x 1

e

(x 1)3

e sin(x 1) x

limx 0(x 1)3

3

sinx x 1

3

x

3

3

3x2ex cosx 19x4ex 6xex sinx6xex sinx5

lim lim lim2x 0x 0x 066x6x3x

3

aa2y a2

2. 解： y 2ax,2yy 2a y ,y 3，则 k ， 2

2232

y y(1 y )(a y)

2

1(a2 y2) 故R 。 2

ka

x3 3x2 9x x 0

3. 解：f(x) 32

x 0 x 3x 9x ① 当x 0时

f '(x) 3x2 6x 9 3(x-3)(x 1)，

f ''(x) 6x 6 6(x 1)

令f '(x) 0，得f(x)的驻点：x1 3，

令f ''(x) 0，得f(x)的可疑拐点：x2 1，

② 当x 0时

f '(x) 3x2 6x 9 3(x-3)(x 1)，

f ''(x) 6x 6 6(x 1)

令f '(x) 0，得f(x)的驻点：x3 1， 令f ''(x) 0，f(x)没有可疑拐点， ③ x4 0是f(x)的不可导点 又 当x 1时，f '(x) 0，

当 1 x 0时，f '(x) 0， 当0 x 3时，f '(x) 0， 当x 3时，f '(x) 0，

x3 1，x1 3是f(x)的极小点，极小值是f( 1) 5 和 f(3) 27

x4 0 是f(x)的极大点，极大值是f(0) 0

又 当x 0时，f ''(x) 0，

当0 x 1时，f ''(x) 0， 当x 1时，f ''(x) 0，

点(0,0)和点(1, 11)是f(x)的拐点。

4. 解：

1

2

f(1 x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

1

1 1 0

1

11

f(x)dx 0(1 2x)(1 x)2dx 0

1 1421

[2ln(1 2x) 2ln(1 x) ] 0 [ ]dx2 01 x1 2x1 x(1 x)

1

2(ln3 ln2)

131

2ln 222

1

f(x)dx 1

2

1x2 2x 2

dx [ln(x 1 x2 2x 2 )] 1 ln(1 2)

所以

5. 解：

31

2l ln( f(1 x)dx12) 0

22

1

dxxx 1

10

0

1

t4dt t101 1d(t5)

0105 t

1

[arcsin(t5)] 1 0

510

6. 解：记a f(x)dx，那么当x 0时，

1

1

f(tx)dt f(x) x2 2x f(x)dx

1

1 x

f(u)du f(x) x2 2ax x 0

x 0

f(u)du xf(x) x3 2ax2 两边求导，得：

f(x) f(x) xf '(x) 3x2 4ax f '(x) 3x2 4ax

22

(3x 4ax)d xx3 2ax C 所以 f(x)

又f(0) 0，f(x)可导必连续，从而得C 0 所以 f(x) x3 2ax2

于是两边求定积分，得：a x3dx 2a x2dx a

1

1

3

4

32x 2

四、证明题（22分） x3 所以 f(x)

1. 证一：令f(x) cosx

2

x 1

2

则f(0) f() 0，f(x)在[0,]上连续，且f '(x) sinx ，

22

2

令f '(x) 0，得驻点 arcsin (0,)

2 当0 x 时，f '(x) 0，f(x)单调增加， 当0 x 时，f(x) f(0) 0 又 当 x

2

时，f '(x) 0，f(x)单调减少，

当 x

时，f(x) f() 0 22

2

综上所述，当x [0,]时，f(x) 0，即cosx 1 x。

2 2

证二：令f(x) cosx x 1

2

则f(0) f() 0，f(x)在[0,]上连续，且f '(x) sinx ，

22

f ''(x) cosx

)[0,]上是向上凸的， f ''(x) 0 …… 此处隐藏：2147字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……