相似三角形判定

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相似三角形定义：我们把对应角相等 问题1:这两个三角形是 相似形定义：我们把形状

、对应边成比例的两个三角形叫做相似三 否为相似形？ 相同的两个图形称为相似形。 角形。观察左图中两 幅图形的形状 ？ 对应角…… 和大小有什么 关系？

对应边……?

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△ABC与△ A'B'C'相似

CA C/

表示为： △ABC∽△ A'B'C' 读作： △ABC相似于△ A'B'C'注意

B

A' A/

B/

在写两个三角形相似时应 把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。

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用符号语言表示：C

∵

∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、 ∠C=C'

AC'

B

AB BC CA A' B' B' C' C' A'∴ △ABC∽△A'B'C'

A'

B'

(相似三角形的定义可以作为三 角形相似的一种判定方法。)

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问题2D A B2cm 3cm

C

E

F

已知△ABC∽△DEF,AC=2cm,DF=3cm 2/3 那么△ABC与△DEF对应边的比= ?

我们将相似三角形对应边的比

称之为相似比。(用字母k表示)

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问题

△ABC∽△A'B'C'C A A' 3cm C' 6cm

△ABC与△A'B'C'的 相似比k1 BC 1 =? ' 2 B' C

B B'

B' C' 2 △A'B'C'与△ABC的相似比k2 =? BC 1三角形的前后次序不同， 所得相似比不同。

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问题3E D

△ABC与△ADE是否相似？

已知BC∥DE若D、E点分别在两边 AEC E D

A

DB

的延长线上呢？结论B 是否成立？ C

(1)

(2)

与图(1)相比较，可以认为 又∵ ∠A= ∠A AD DE AE ∴ 是由图(1)中三角形ADE经 AB BC AC ∴ △ABC∽△ADE 过旋转而得到。 ∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∵ BC∥DE

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相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三

角形的两条边 (或其延长线)分别相交，那么所构成的三 角形与原三角形相似。

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用数学符号表示：A E D

DB

ECB

A

(1)

C

(2)

∵ DE∥BC

∴ ΔADE∽ΔABC

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问题三角形的中位线截得的三角形与原三角形是 否相似？ 相似比是多少？A D B E C

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问题已知：如图，AB∥EF ∥CD,则△AOB与_______和_______都相似。 △FOE △DOC

3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF AB∥CD EF∥CD△AOB∽ △FOE △AOB ∽△DOC

A O E C F

B

△EOF∽△COD

D

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问题4在△ABC 和△ A' B' C ' 中, ∠A=∠A', ∠B'=∠B △ABC与△A' B' C ' 是否相似？A

A'

利用相似三角形的 利用相似三角形的 可以证明！ 条件不够 B C B' 定义？ 预备定理？ 怎样创造具备预备定理条 把小的三角形移动到大的三角形上。 件的图形？

C'

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证明：在AB,AC上分别截取AD= A'B' ,AE = A'C'∵ AD=A'B',∠A=∠A',AE=A'C' ∴ ΔA DE≌ΔA'B'C',

∴ ∠ADE=∠B', 又∵ ∠B'=∠B, ∴ ∠ADE=∠B,∴ DE//BC, ∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA'B'C'∽ΔABCB D

A A/

EC B/ C/

判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简 单说成：

两角对应相等，两三角形相似。

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用数学符号表示：

∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'B

A

A'

C B'

C'

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问题

如果△ABC∽△A1B1C1而△A1B1C1 ∽△A2B2C2

那么△ABC与△A2B2C2是否相似？ 原因？

相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1 ,而△A1B1C1 ∽△A2B2C2那么△ABC∽△A2B2C2 。