蝴蝶定理的证明及推广

蝴蝶定理的广泛概括

摘 要

蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；

一 摘要

[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。

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蝴蝶定理的广泛概括

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

二 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU AD，OV BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

EUO EMO 90 FVO FMO 90

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则 AUM= EOM， MOF MVC

MV又 MAD MCB，U、V为AD、BC的中点，从而 MUA，

AUM MVC

则 EOM MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

FMD' EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC' CQ。又

111 CFP=QB+PC）=QB+CC'+CQ）=BC'= BD'C'

222

故M、F、B、D'四点共圆，即 MBF MD'F

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D

图 2

蝴蝶定理的广泛概括

而 MBF ED M ○2 由○1、○2知， DME D'MF，故ME=MF。

证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对 NEF及截线AMB， NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有

FMME EAANNBBF 1，FMME EDDN NC

CF 1 由上述两式相乘，并注意到

NA ND NC NBFM2得ME2

ANAE NDBFCFBF CF

ED BN CN AE ED

PM+MF MQ-MF PM2PM-MEMQ+ME MF2PM2 ME

2

化简上式后得ME=MF。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令

DAB= DCB ADC= ABC DMP= CMQ AMP= BMQ PM MQ aME x，MF y

S由

AMES FCMS S S EDM S FMB

S 1即 FCM EDMS FMB AME

，

AM AE sin FM CM sin ED MD sinMC CF sin EM MD sin FB BM sin MF MB sin

MA ME sin

1

化简得 MF2C FFB

QFaME2

AE E D

PE F P y a

yEQa xa x

a2 y2a2 x2

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图 3

D

图

4

蝴蝶定理的广泛概括

y2a2 y2

即 2 2从而 x y,ME MF。 2

xa x，

证法 5 令 PMD QMC ， QMB AMP ，以点M为视点，对

MBC和 MAD分别应用张角定理，有

sin sin sin sin sin sin

MFMCMBMEMDMA

上述两式相减，得

1 sin sin 1

sin MC MD MB

MFMEMC MDMA MB

设G、H分别为CD、AB的中点，由OM PQ，有

MB MA 2MH 2OMcos 90 2OMsin MD MC 2MG 2OMcos 90 2OMsin

D

图 5

1 1

于是 sin 0而 180 ，知

MFME ，

sin 0，故ME=MF。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的

证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

x2 y a R2

2

直线AB的方程为y k1x，直。

线CD的方程为y k2x。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

x2 y a R2 y k1x y k2x 0

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2

蝴蝶定理的广泛概括

令y 0，知点E和点F的横坐标满足二次方程 k1k2 x2 a2 R2 0由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1 x2，故ME=MF。[5]

证法 7 如图7

程可写为

，

2

x a

y2 r2

直线AB、CD的方程可写为y k1x,y k2x又

设

A、、B、C的

坐标 xi,yi ,i 1,2,3,4，则x1、x4 x a

2

22 k12x2 r2, x a k2x r22

根。AD在y轴上的截距为

k2x4 k1x1 x1 y4 y1

y1 x1 k1x1

x2 x1x4 x1 。

k k xx

同理，BC在y轴上的截距为1223

x3 x2

方程 1 k

21

x

2

2ax a r 0的两根22

1 k x

2

2

2

2ax a2 r2 0的两根，所以

图 8

x xxxx1 x2xx2a

22 34从而易得 12 34 0即ME MF。

x1x2a rx3x4，x1 x2x3 x4

，

证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，

令 BMx ， CMx ，则 C Fsin F Bsin C Bsin

2 2 即 F

C Bsin

○1

Bcos Ccos

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蝴蝶定理的广泛概括

E

A Dsin

○2

Acos Dcos

作OU CD于U，作OV AB于V。注意到 A B C D ○3 由Rt OUM与Rt OVM可得

B A D C

○4 cos cos

将○3○4代入○1○2可得 E F，即ME=MF。

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蝴蝶定理的广泛概括

二 蝴蝶定理的推广和猜想

（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM .

推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.

证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;

∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;

记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.

则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP …… 此处隐藏：3279字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……