25.5.3切线长定理课件

过⊙O外一点作⊙O的切线作法: 1.连接OP. 2.以OP为直径作圆,设 此圆交⊙O于点A、B. 3.连接PA、PB. 则直线PA、PB为所求. A

O O·

P

B

一、切线长定义从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点 间的线段长叫做这点到圆的切线长. A

· O

P

切线与切线长的区 别与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点 分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结 B 论？并证明你所发现的结论.

PA = PB∠OPA=∠OPBO

。

P A

证明：∵PA,PB与⊙O相切，点A,B是切点, ∴OA⊥PA,OB⊥PB , 即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB,OP=OP, ∴Rt△APO≌Rt△BPO (HL) ∴ PA = PB , ∠APO=∠BPO.试用文字语言 叙述你所发现 的结论

二、切线长定理 从圆外一点作圆的两条切线， 两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条 切线的夹角.O。

B

PA

几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 四个 性质：1、切线和圆只有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径； 4、从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.B

OP垂直平分AB

O

。

M

P

A 证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点, ∴PA = PB , ∠APO=∠BPO. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB.

若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你 又能得出什么新的结论?并给出证明.B

CA=CB C

。

P

O

A 证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,

∴PA = PB , ∠APO=∠BPO.又∵PC=PC.

∴ △PCA ≌ △PCB ,∴AC=BC.

例1.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于⊙O E 于点D、E,交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系. OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP . (2)写出图中与∠OAC相等的角. ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. (3)写出图中所有的全等三角形.

A OC D B

P

△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP. (4)写出图中所有的等腰三角形. △ABP , △AOB .

(5)若PA=4、PD=2,求半径OA.

反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形.O。

A

P

(1)分别连结圆心和切点; (2)连结两切点; (3)连结圆心和圆外一点.

B

例5、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC。证明:∵AB、BC、CD、DA都与 ⊙O相切,E、F、G、H是切点. ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH. ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. 即 AB+CD=AD+BC. 结论: 圆外

切四边形的对边和相等.

D H

G

C F

O AE

B

例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切 线分别相交于C、D, 已知PA=7cm. (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数.解:(1)连接OA、OB、OE, ∵PA、PB分别是⊙O的切线,A、B、 E为切点. P ∴OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥DC. ∴DA=DE,CB=CE, ∴DC=DE+CE=DA+CB. ∴△PCD的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB =PA+PB=7+7=14(cm) . A

DE ·O

C

B

A

D(2)∵PA、PB分别是⊙O的切线, P ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴DA、DE 为⊙O的切线, ∴DA=DE,∠ADO=∠EDO. 又∵DO=DO,∴△AOD≌△EOD, ∴∠AOD=∠EOD. E ·O

在四边形APBO中,∠AOB=180°-∠P=134°

C

B

同理 ∠BOC=∠EOC.

1 1 ∴∠DOC =∠DOE+∠COE= AOB 134 67 . 2 2

思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。

A O F B

D P E

知识拓展 已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别 是A、B,Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm,∠P=70°, 求：△PEF的周长和∠EOF的大小。

AE O

QP F B

小

结：

1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 B ∵PA、PB分别切⊙O于A、B E。

O

C D A

∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB, P OP垂直平分AB

切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

2.切线长定理的应用.