1.4概率的计算公式

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§1.3 概率的计算公式由概率的定义可以证明概率的一些重要性质. 由概率的定义可以证明概率的一些重要性质.

首先

P (Φ ) = 0由概率的可加性

证明: 证明:因为 Φ = Φ U Φ U L

P (Φ ) = P (Φ ) + P (Φ ) + L由 P ( Φ ) ≥ 0 ,证得 P ( Φ ) = 0 . 证得

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一.加法公式 有限可加性 两两互不相容, 若A1 , A2 ,L , An 两两互不相容,则

P( A U A2 ULU An ) = P( A ) + P( A2 ) +L+ P( An ) 1 1证明: 由可列可加性 可加性, 证明 : 由可列 可加性 ,并 令

Ai = Φ( i = n + 1, n + 2,L)

P ( U Ai ) = P ( U Ai ) = ∑ P ( Ai ) = ∑ P ( Ai )i =1 i =1 i =1 i =1

n

∞

∞

n

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推论1 A,B为两个事件 为两个事件, 不相容, 推论1 若A,B为两个事件,且A与B不相容,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) ∪

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对任意事件A, 推论 2:对任意事件A, P ( A ) = 1 P( A).

证明: 证明:由于 A U A = 且 AA = Φ由推论 1 可知

P ( A) + P ( A) = 1得

P ( A) = 1 P ( A)

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推论 3 若 A, B 满足 A B ,则有

P(B A) = P(B) P( A), P(B) ≥ P( A);

证明: 证明:

由 A B 知, B=A∪(B-A) 且 A(B-A)= Φ , ∪

又由概率的可加性知 P(B) = P(A) + P(B- A)

亦即 P(B - A) = P(B) - P(A)

而 P(B - A) ≥ 0有 P(B) ≥ P(A)

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对任意事件A, B有 推论 4 对任意事件A, 有 B

P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB)P( AU B) ≤ P( A) + P(B)证明: 证明: A U B = A U ( B AB ) ,又 A U ( B AB ) = Φ , 由且 AB B 于是有

P ( A U B ) = P ( A) + P ( B AB ) = P ( A) + P ( B ) P ( AB )而 P ( AB ) ≥ 0 ,因此 P ( A U B ) ≤ P ( A) + P ( B )上式称为加法公式. 上式称为加法公式. 加法公式

当事件A,B互不相容时有 当事件A,B互不相容时有 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) A,B

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还可以推广到多个事件情形, 注 :推论 4 还可以推广到多个事件情形 , A1 , A2 , A3 为任 设 意三个事件, 意三个事件 , 则有

P(A 1 U A 2 U A 3 )= P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) - P(A 1 A 2 ) - P(A 1 A 3 ) - P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 )

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一般地, 一般地,对任意 n 个事件 A1 , A2 ,L , An 由归纳法可得

P(A 1 U A 2 U A 3 L U A n )= ∑ P( Ai ) i =1 n

1≤ i < j ≤ n

∑ P( A A ) + ∑ P( A A A ) + Li j 1≤ i < j < k ≤ n i j k

L + (1)n1 P( A1 A2 L An ).

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例 设 A, B 为两事件, 且 P ( B ) = 0.3 , P ( A U B ) = 0.6 , 为两事件 , 求 P( A B )解:.

P ( A B ) = P { A( B )} = P ( A AB )= P ( A) P ( AB ) ,而 P ( AU B ) = P ( A) + P ( B ) P ( AB )

则 P ( AU B ) P ( B ) = P ( A) P ( AB )

则有 P ( A B ) = 0 . 6 0 . 3 = 0 . 3 .

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例

( 1 ) 设 有 任 意 两 件 事 A, B 为 两 事 件 , 且 求证: P ( A) = ( B ) = 0.5 ,求证: P ( AB ) = P ( A B )

(2)证明对任意两件事 A, B 有

P ( A) + P ( B ) 1 ≤ P ( AB ) ≤ P ( A U B )

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证明: 证明: (1) P ( A B ) = P ( A U B )= 1 P( A U B)

= 1 [ P ( A) + P ( B ) P ( AB )1 1 = 1 [ + P ( AB )] 2 2= P ( AB )

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(2)因为 AB A U B ,所以 )

P ( AB ) ≤ P ( A U B )可得1 ≥ P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) P ( AB )又因

为 P ( AB ) ≥ P ( A) + P ( B ) 1从而证得

P ( A) + P ( B ) 1 ≤ P ( AB ) ≤ P ( A U B )

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例 从 1,2,3, …,100 这一百个整数中任取一个 , 整除的概率. 数,求被取到的数能被 3 或 4 整除的概率.

解

整除} 设 A={取到的数能被 3 或 4 整除 取到的数能被 B={取到的数能被 3 整除 取到的数能被 整除} C={取到的数能被 4 整除 取到的数能被 整除}则A = B UC

P( A) = P(B) + P(C) P(BC),

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在 1,2,…,100 这一百个整数中能被 3 整除的有 33 个,能被 4 整除的有 25 个,能被 12 整除的有 8 个.事件BC 发生相当于能被 3×4 整除,即能被 12 整除,因此 整除, 整除,

33 P(B) = , 100

= 25 , P(C) 100

8 P(BC) = , 100

P( A) = P(B) + P(C) P(BC) 33+ 25 8 = 1 . = 2 100