自动控制原理第二章课件

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第二章 自动控制系统的数学模型2-1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2 控制系统的时域数学模型

2-3 控制系统的复数域数学模型2-4 控制系统的结构图与信号流图

2-5 控制系统建模的MATLAB方法

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基本要求： 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。

3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。

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6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。

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自动控制系统的组成可以是电气的，机械的， 液压的，气动的等等，然而描述这些系统的 数学模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类 型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运 动规律，控制系统的数学模型是通过物理学， 化学，生物学等定律来描述的，如机械系统 的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都 是用来描述系统模型的基本定律。

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如果描述系统的数学模型是线性的微分方 程，则该系统为线性系统，若方程中的系数 是常数，则称其为线性定常系统。数学模型 可以是标量方程和向量的状态方程。 本章主要讨论的是线性定常系统。我们可 以对描述的线性定常微分方程进行积分变换， 得出传递函数，方框图，信号流图，频率特 性等数学描述。 线性系统实际上是忽略了系统中某些次要 因素，对数学模型进行近似而得到的。以后 各章所讨论的系统，除第八章外，均指线性 化的系统。

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分析和设计任何一个控制系统，首要 任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输 出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式。

建立数学模型的方法分为解析法 和实验法

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解析法：依据系统及元件各变量之 间所遵循的物理、化学定律列写出变 量间的数学表达式，并实验验证。 实验法：对系统或元件输入一定形式 的信号(阶跃信号、单位脉冲信号、正 弦信号等),根据系统或元件的输出响 应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。

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总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。

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2-2控制系统的时域数学模型基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、 输出量 建立输入、输出

量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程返回目录

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列写微分方程的一般方法

例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。

R

ur

iC

uc

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解：由基尔霍夫定律得：

ur R i ucduc i C dt

(2 1)

式中, i为流经电阻R和电容C的电流，消去中间 变量i,可得：

duc RC uc ur dtduc T uc ur dt

(2 2)

令 RC T(时间常数),则微分方程为：(2 3)

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例2-2 求RLC电路的微分方程解:(1)确定输入: ui(t) 输出: u0(t) (2) 列原始方程 di L Ri( t ) u0 ( t ) ui ( t ) dtdu0 i(t ) C 代入上式 dt (3)消去中间变量 i (t )并标准化L R C

ui (t )

i (t )

u0 ( t )

d 2 u0 du0 LC 2 RC u0 ui 令: T1 = L/R, T2 = RC 则 dt dtd 2 u0 du0 T1T2 T2 u0 ( t ) u i ( t ) 2 dt dt

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例2-3设有一弹簧 质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t) 作用于系统时，系统 将产生运动，试写出 外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的动态 方程。其中弹簧的弹 性系数为k,阻尼器 的阻尼系数为f,质 量块的质量为m。

F(t)M

k y(t)

f

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解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky(t) 阻尼力 fdy(t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以

F(t)M

k y(t)

F 0i

f

将各力代入上等式，则得

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d y (t ) dy (t ) m f Ky (t ) F (t ) 2 dt dt式中：y——m的位移(m); f——阻尼系数(N· s/m); K ——弹簧刚度(N/m)。 将式(2-4)的微分方程标准化

2

(2 4)

m d 2 y (t ) f dy (t ) 1 y (t ) F (t ) 2 K dt K dt K

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令 T

m / K ,2 T f / K 即 f / 2 mK,则式

k 1/ K2 2

(2 4) 可写成 (2 5)

d y (t ) dy (t ) T 2 T y (t ) kF (t ) 2 dt dt

T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了 m-K-f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。