对数求导法与幂指函数导数公式

对数求导法

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教学月刊窜嚣。拳㈠

霹卷籀导

对数求导莹与幂指函数导数公式口陈守礼(特级教师)

一

、

对数求导法

样，对数求导法的疑惑就迎刃而解了 . 1例可采用如下解法。

新编教材高中第三册(选修)中有对数函

数导公： )÷(.=le的数式( ,g o, 1= 1 )lg m o x当函数 f ) (蕴含的运算关系复杂时， 可用对

解：1f一 l l()l I

专n++ II一 . II 2专n 3 2 I x I由扩展了的对数函数求导公式得

数求导法求f() . 侈 f一 0 ( 1 ) f( . )+ )(一2, 2! x ) 3求

(一 2 )了

+ 1 3了 .

解： ()专l+)专I 2 1一 I 2 l3一) n厂 1+ 1 ( (

因此，我们得到： 结论一用对数求导法时，不必考虑定义域的改变问题 .

/) + 3= 了 (号 l1 一±

二、函数导数公式幂指

—

3+ ) 2(一2 ) (一 )+2

例 3函数 Y , Y. —求

在函数 Y 中，=底数是变量，指数也是变量 .这种函数叫幂指函数 .其一般形式是 Y f] .=[( 求幂指函数导数可用对数求 )导法 .+2

+2 3一2 ) x ) (

3+2 (一2 3. )3 x )

解法中的疑惑是：两边取对数后，定义域

发生了改变 .如何理解？为了释疑，先解决函

解l=l专‘= ÷: x y I+ I n 1 n y1 n￣ y= (+lx .+lx 1 n )

数 Y o l—l l的求导问题 . g 例 2函数 Y 0 l l求 Y. —l , g解：

现在的问题是：幂指函数的导数与幂函数的导数及指数函数的导数有没有关系？有

什么关系？

【 g( )<0 l~ ( ) o。

若把 Y 看作幂函数，=则其导数为 一

,

即； 若把 Y 看作指数函数，=则其导

数为 xn . 3中 Y= (+n ) Xx例 l 1 l恰是+ x

(g0< 1e一。 l> o ) . ( x一

xn, qx这是巧合还是规律？这需要研究幂指函 数的一般情形 . 例 4函数 Y I ’ =厂“, ( )其中f ) (与 g均连续可导， Y . ()求

÷

由例 2对数函数的导数公式可扩展为：,

(II=,g I=这 1 )÷( )-g. n , I,1 l o - l o

解：y ( h (了 Y 1—g )1 ) 1 I 1厂一g ( k (+, n ) f )=

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教学月刊审矮掌)= ( ’[ xi ( ) g ), ) g ( ) f+ ( , n]( )=( x h. 2 y X+2 ) x 2

舞器捂导解：1Y=cs ix () o s n+s x ( s x ( ix i 1 i ) 一s ) n nn n:s一 (_ z _￣x C x—

- X C X￣

= ( ) _ ) gX ( 厂

+ f( )

_ )[f ) . .厂 i (] g( ( n )其中第一项就是把 Y ( 看作幂函=厂 )数时的导数；而第二项就是把 Y ( 看=厂 )作指数函数时的导数 .因此，我们得到：结论二求幂指函数的导数时，可先看作 幂函数求导，再看作指数函数求导，最后把两者相加 .

Sn X l

s I ) il n 1 s; 2 (+2+ )

( ) nx X+2 ) 2 Y=i ( x 2

(+2 )[ ( ] 1 x+2 ) . n 2= 2 ). x] (浙江省宁波市华茂外国语学校 359) 112 +2 [ l n++

有了结论二，我们可以直接写出幂指函 数的导数，而不必再用间接的对数求导法了 . 例 5求导：1Y s x; ()= i一 n

浙江教育学院 5周年校庆公告( O第一号)光阴荏苒，岁月如歌。05 20年仲秋，浙江教育学院将迎来建校 5周年华诞。 O这是学院建设发

展中的一件大事，也是学院历史上的重要里程碑。届时，学院将举行隆重热烈的庆祝活动。 半个世纪风雨历程，五十寒暑春华秋实。值此学院五十华诞喜庆之际，我们真情惦念着每一位曾在浙江教育学院发展历程中留迹的同志、朋友。因此，恭请曾在浙江教育学院以及省教师进修学校、省教师进修学院、省文化教育干部进修学院、浙江师范学院教研部(92 16年)省教 16— 95、育厅教研部、省中小学教材编写组工作或学习过的海内外校友速将近况告知我们(详见联系单)。

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