材料力学 课件 弯曲应力

材料力学 课件 弯曲应力

第五章 弯曲应力基本要求1.掌握梁弯曲时横截面上正应力的分布规律及 相应的强度条件； 2.了解弯曲时横截面上切应力的分布规律； 3.了解提高梁弯曲强度的一些措施。

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

§5-1

基本概念

1.中性层和中性轴

M

M

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

2.横弯曲和纯弯曲F F B C a D a

A

纯弯曲：(CD段)

Fs = 0,M≠0F 横弯曲：(AC、DB段)

F Fs

F +FFa

Fs≠0, M≠0

M

+

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

§5-2一.试验与假设

纯弯曲时的正应力变形现象：(1)横线仍是直 线，只是发生相对转动，但仍与 纵线正交。 (2)纵线弯曲成曲 线，且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。 平面假设：梁变形后，横截面 仍保持平面，并垂直于变形后梁 的轴线，只是绕着梁上某一轴转 过一个角度。

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

二.弯曲正应力公式 基本假设：①纵向纤维间互不挤压(无挤压应力);

② 平面假设

需讨论：①正应力沿高度方向的分布规律；

②各点正应力的大小。

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。 由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看 见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情 形推知梁横截面上的正应力分布。

平面假定变 形 应变分布

物理关系

应力分布

静力 方程应力公式2013-8-6 6

材料力学 课件 弯曲应力

1、变形几何关系 建立坐标系： x——截面外法线 y——截面对称轴 z——中性轴 线段 aa 正应变 yrdq

o adx

oa y aM

o

o a

M

( r y)dq rdq y = = rdq r表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截 面高度线性分布。2013-8-6 7

材料力学 课件 弯曲应力

2、物理关系

=

y

r

对于线弹性材料，有胡克定律

s=E s=E

r

y

表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到 中性轴的垂直距离 y 成正比，即正应力沿着截面高度按

线性分布。2013-8-6 8

材料力学 课件 弯曲应力

3、静力关系

sdA=F =0N A

S z= ydA=0A

表明：中性轴 z 通过截面形 心，并且垂直于对称轴。

M y zs dA 0A

M z ys dA MA

1

r

M EI z

EIz——截面的抗弯刚度。2013-8-6 9

材料力学 课件 弯曲应力

纯弯曲时正应力计算公式

s=1

E

rM

y

r

EI z

My s= Iz

实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直 接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生

压应力，而不必计及M和 y 的正负。

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

§5-3

横力弯曲时正应力

一.最大弯曲正应力

s max

M max y max M max M max Iz Iz Wz ymax——抗弯截面系数

Iz Wz y max

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

抗弯截面系数y

z

bh3 Iz bh 2 Wz= 12 h h 6 2 2

hb3 Iy hb 2 Wy= 12 b b 6 2 2

b y

h

zd y

I d3 Wy Wz=W 64 d d 32 2 2 D 4 1 4 I Wy

Wz=W D 2 64 D 2

d4

z

D3 1 4 32

d D2013-8-6

=

d D

材料力学 课件 弯曲应力

二.弯曲强度条件塑性材料

s max

脆性材料

s t max [s t ] s c max [s c ]

M max [s ] Wz

强度计算步骤：(1)求支反力并画内力图。(2) 判断梁的危险截面和危险点。(3)求截面图形的静矩和 惯性矩等。(4)计算危险点的应力。(5)列出强度条 件，进行强度计算。 利用强度条件，可进行强度校核、截面设计、确定许 可载荷。2013-8-6 13

材料力学 课件 弯曲应力

例5-1

矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已

知：矩形的宽度b=20mm,高度h=30mm;均布载荷

集度q=10 kN/m ;梁的长度l=450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。

l

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

解：1. 计算最大弯矩

FRA

l

FRB

FRA FRB

ql 10kN/m 10 3 450mm 10 -3 2.25 10 3 N 2 2

M max

ql 2 10kN/m 10 3 (450mm 10 -3 ) 2 0.253 10 3 N m 8 8

2. 计算惯性矩

bh 3 20mm 10 -3 (30mm 10 -3 ) 3 Iz 4.5 10 8 m 4 12 12

2013-8-6

材料力学 课件 弯曲应力

均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(x)就是中 性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的

l

方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。

于是弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为

M max y1 0.253N m 10 3 7.5 10 3 m s 1 0.422 10 8 Pa 42.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m s 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa -8 4 Iz 4.5 10 m2013-8-6 16