线性代数第八讲

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

本次课讲第三章第三节第四节

下次课将第四章第一节第二节

下次上课时交作业第21～24页

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

一、矩阵的秩 1.定义 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有的 那么D 称为矩阵A的 r+1阶子式（如果存在的话）全等于0， 最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R(A) . 2.秩的性质:初等变换秩不变. 定理 若A~B, 则 R(A) = R(B). (1) 矩阵 A 初等行变换 行阶梯形矩阵B; (2) R(A) = 矩阵 B 非零行的行数.

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 例：求矩阵 0 1 1 0 0 1 的秩 A 0 2 2 0 0 1 0 1 1 2 2 2 分析：首先互换1、2行，第2步，用第一行把第2行以后的第2 列元素变成0，按照上三角形依次做下去 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 A ~ 0 1 1 0 0 1 ~ 0 0 0 1 1 2 0 2 2 0 0 1 0 0 0 2 2 3 0 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 ～0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以：R（A)＝3 5.满秩定义

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

对于n 阶可逆矩阵A，因 A 0， 知A的最高阶非零子式为 A ， R A n 所以 A 的秩等于它的阶数，故可逆矩阵 又称满秩矩阵而奇异矩阵又称降秩矩阵。

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

二、矩阵的秩的基本运算: 1.等式（不变）运算 1 R( AT ) R( A) ） 分析：由定义A的子式也是AT的子式，反之亦然 2） 若A~B, 则 R(A) = R(B); R(A) = R (kA). 分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理， 显然初等变换秩不变。 3） 若 P,Q 可逆, 则: R(PAQ) = R(A). 分析：因P、Q可逆，由初等矩阵定理，PAQ与A等价。 推论：若B可逆，则R(BA)=R(A)（或R(AB)=R(A)） 分析：在上述推论中，只要令P=B，Q=E即可（或P=E，Q=B）

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

2.不等式（大小比较）运算

1）

0 R( Am×n ) min{m,n}.

Max{R( A), R( B)} R( A、B)

分析：由定义，最大k阶子式是行列式，小于m、n 2）部分的秩小于整体的秩

A或B与R( A, B)相比，A的k阶子式总是 A, B)的k阶 ( 子式，故 ( A) R( A, B),同理：R( B) R( A, B), 所以有： R max{R( A), R( B)} R( A, B)

3）合（并）的秩小于秩的合（并）。即：

R( A, B) R( A) R( B)；

R( A B) R( A) R( B)

第八讲：矩阵的秩与二三章总结

证：先看第一个不等式 R( A) r1 , R( B ) r2 . ：设 Ar T A 0 T 则( A, B )