基于混沌时间序列分析的国民生产总值的预测研究

本文利用混沌动力学原理,采用基于相空间重构技术的混沌时间序列分析方法, 对改革开放以来(1978-2004)中国国民生产总值(GDP)时间序列进行了分析,计算了时间序列的嵌入维数、延迟时间等关键参数,并建立了局域预测模型。并且把预测结果和用灰色系统预测结果进行了比较。

基于混沌时间序列分析的国民生产总值的预测研究 *

王洪礼**，葛根，许佳，郭嘉良

（天津大学机械工程学院 天津，300072）

摘 要：本文利用混沌动力学原理，采用基于相空间重构技术的混沌时间序列分析方法， 对改革开放以来（1978－2004）中国国民生产总值（GDP）时间序列进行了分析，计算了时间序列的嵌入维数、延迟时间等关键参数，并建立了局域预测模型。并且把预测结果和用灰色系统预测结果进行了比较。结果表明本文采用的方法具有较好的精度。

关键词：混沌时间序列，相空间重构，国民生产总值（GDP），预测

0．前言

国内生产总值（GDP），是指在一个特定时期一个国家内的所有最终产品和劳务的市场价值，是在国内生产的财富和服务行业的附加价值的总额。简而言之，就是用金额来表示其价格的大家所从事生产活动的产品价值中，扣除生产中所需原材料等费用后的总额[1]。国内生产总值是国家经济参数中一个最重要的经济变量，它能衡量国家的经济实力和国民经济发展规模。所以研究它有着重要的意义。

由于经济系统是一个非线性的复杂系统，一般传统预测方法的结果往往与实际偏差较大，因而近年来，对非线性系统下，尤其是混沌背景下产生的时间序列的分析越来越受到人们的 重视。本文利用混沌时间序列分析技术对国内GDP时间序列进行了分析和预测，且把结果和传统的灰色系统预测进行了比较。

1．混沌时间序列分析简介

包括经济系统在内的任何复杂系统中，任一分量的演化是由与之相互作用的其它分量所决定的，因此这些相关分量的信息通常隐藏在任一分量的发展过程中。这样，就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。Takens[2]证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数m≥2d+1，d是原动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹(吸引子)恢复出来。亦即在重构的空间中的轨线上与原动力系统保持微分同胚，从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。

对于时间序列(x1,x2,x3.....xN)，N是序列长度。可以选取适当的延迟时间τ和嵌入维数m，重构相空间后得到其中的m维矢量Xi=(xi,xi+τ,xi+2τ,.....,xi+(m 1)τ)∈Rm。且有函数f使Xi+1=f(Xi)成立。在此基础上，通过拟合函数f可以预测相空间上下一个点。

2．相空间重构

2.1数据来源

经查阅经济年鉴得我国1978－2004年国内GDP总值如下表所示：

*本论文得到博士点基金（社会经济系统中的非线性动力学研究）的支持 项目号：20040056041 **作者简介：王洪礼，女，天津大学教授，博士生导师。从事非线性科学研究多年，发表论文百余篇

本文利用混沌动力学原理,采用基于相空间重构技术的混沌时间序列分析方法, 对改革开放以来(1978-2004)中国国民生产总值(GDP)时间序列进行了分析,计算了时间序列的嵌入维数、延迟时间等关键参数,并建立了局域预测模型。并且把预测结果和用灰色系统预测结果进行了比较。

表1 （1978－2004）国内生产总值数据 单位（万亿） 年份 5934.58964.4102021196321618年份 7446378345820688940495933136876

2.2计算延迟时间τ

最佳延迟时间的确定目前的方法比较成熟，有自相关法、平均位移法、复自相关法、去偏复自相关法、互信息法，C—C方法[3]等。参考文献[4]，本文采用去偏自相关法，其的优点主要是：具有很强的理论依据，而且数学表达式简捷，容易计算，复杂程度适中。最重要的是，它对数据长度要求不强，定义去偏自相关法的公式为：

1Rxx=NN τi=1∑(xi )(xi+τ （1）

其中N为样本个数，xi是第i个样本，是序列的均值。当Rxx随着τ增加而下降到初始

1时，此时的τ就是重构相空间的时间延迟。参考文献[5]且经计算得τ＝1。 e

2.3计算嵌入维数m 值的1

嵌入维数的计算方法主要有，C－C方法、关联维数法等。本文采用文献[6]中所提供的Cao氏方法计算嵌入维数m。定义函数：

a(i,m)=Xi(m+1) Xn(i,m)(m+1)

Xi(m) Xn(i,m)(m) （2）

其中i=1,2,......,N mτ。 表示欧氏空间里的距离函数。Xn(i,m)(m+1)表示在m维嵌入空间内和Xi(m+1)距离最近的点。n(i,m)取值在[1,N mτ]内。则函数a(i,m)的均值为：

1N dτ

E(m)=a(i,d)（3） ∑N dτi=1

为了研究函数 E(m)随着m变化的规律，定义：

E1(m)=E(m+1)/E(m)（4）

当E1不随m增大而变化时，此时的m就是最佳嵌入维数。取m在[1,6]之间变化，编程实现上述算法。得下图结果。嵌入维数取m＝3。

本文利用混沌动力学原理,采用基于相空间重构技术的混沌时间序列分析方法, 对改革开放以来(1978-2004)中国国民生产总值(GDP)时间序列进行了分析,计算了时间序列的嵌入维数、延迟时间等关键参数,并建立了局域预测模型。并且把预测结果和用灰色系统预测结果进行了比较。

图1 用CAO氏法求嵌入维数m结果图

3．模型构造

3.1构造一阶局域预测模型

局域预测是将相空间轨迹的最后一点作为中心点，把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点，然后对这些相关点做出拟合，再估计轨迹下一点的走向，最后从预测出的轨迹点的坐标中分离出需要的预测值。首先按照上文所述的参数τ＝1、 m＝3重构相空间。

其次根据文献[3]中所述，需要确定搜索离中心点最近的点数。太多的点通常是不必要的，甚至影响预测的精度，一般k满足k>m+1即可。本文由上文计算得m＝3，则k取

5。构造一阶拟合函数如下：

Xk1 Xk0 Xk2 Xk1 X =aI+b X （5） k3 k2 Xk4 Xk3 XX k5 k4

其中a，b是常数;I是单位矩阵;Xki是相空间中和中心点最接近的k个点，i＝1、2、3…k.最后确定a、b的值。这是一个最小二乘问题，令：

1,Xk0 Xk1 X 1,Xk1 k2 a ，C= A= Xk3 ；B= ； 1,Xk2 b （6） 1,Xk3 Xk4 1,X Xk4 k5

则C=(BB)BA。

采用上述方法预测1998－2004年的GDP数值，结果见下文结果比较部分。 T 1T

3.2 等维灰色系统预测

根据文献[7]的方法，采用等维灰色系统动态预测方法GM（1，1），该方法适用1维1变量的数据预测。其基本算法是选取前若干点依次叠加的一组新的数值后拟合曲线，预测下一个叠加值，再减去前一个叠加值，即得预测值。

经多次计算实验得知：每次用前五年的数据建模预测后一年的数据结果最为精确。结

本文利用混沌动力学原理,采用基于相空间重构技术的混沌时间序列分析方法, 对改革开放以来(1978-2004)中国国民生产总值(GDP)时间序列进行了分析,计算了时间序列的嵌入维数、延迟时间等关键参数,并建立了局域预测模型。并且把预测结果和用灰色系统预测结果进行了比较。

果见下表2。

3.3预测结果比较和分析

结果如表2、图2所示

表2：两种预测方法的结果比较 年份

实际值

混沌预测误差 灰色动态预测71499.19 87569.37 87894.34 94023.06 102580.03

110491.03

126270.68 误差 8.74％ 6.70％ 1.69％ 1.99％ 0.1 …… 此处隐藏：3287字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……