《线性代数》答案及课件

线性代数答案与课件,化学工业出版设

1．求下列齐次线性方程组的通解. （1）2x1 3x2 x3 5x4 0,

3x1 x2 2x3 7x4 0,

4x1 x2 3x3 6x4 0,

x1 2x2 4x3 7x4 0,

解:对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到：

23 15 919 A 312 7 r1

2r 07

4 14 41 36 r2 3r4 07 10

r 09 19

34 1 24 7 3 4r 4 1 24 7

00

15 r07 1014 1 2r 2 09 1934 1 24 7 015010

A 7 1014 7 1064

7

649 19349 19129

9

129

0

∴由克莱姆法则可知，方程组只有零解。

（2）x1 x2 x3 4x4 3x5 0,

2x1 x2 3x3 5x4 5x5 0,

x1 x2 3x3 2x4 x5 0

,

3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.

解:对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到：

1114 314

3

A

2135 5 r2 2r 11

1 01 31

1 13 2

1 r r 131 2 62

31

56 7 r 4 3r 0 2

1 0 22 62

r 1021 2 1 r2

r 11

31

3 2r1 0r 00000

,

4 2r

1 0

00

∴原方程组的同解方程组：x1 2x3 x4 2x5 x2 x3 3x4 x5 ， ∴方程的通解：

x1 2k1 k2 2k3 ，

线性代数答案与课件,化学工业出版设

x2 k1 3k2 k3

,

x3 k1,xk2, 其中k1,k2,k3为任意实数。

4 x5 k3

.

2.求下列非齐次线性方程组的通解. （1）5x1 x2 2x3 x4 7,

2x1 x2 4x3 2x4 1,x1 3x2 6x3 5x4 0

.

解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：

5 1217 214 21 r 01432 247

1 5r3

0716 121 3 650 1 r

2 2r 3

1 3 650 000

05 r 1 2r 2 0716 121 B. 3 650 1

∵矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程：0 5，∴方程组无解。 （2） 3x y 4z 2w 5,

x 5y 2z 3w 11,

x 9y 2z 5w 15

, 5x 3y 6z w 1

.

解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：

31 42 5 0 142 7

28

1 52 311 r1 3r22 311

r1 5

3 1 92 515 r2 00 24

536 1 1 r 4 5r 4

2 028

414 56

r 0 142 728 0020

14

2 r1

r1904 17 r1 14r3 00 8 4 2r1 1

r 010 1 r 1

2 9r3 0101 1 43 00000 0

00

0

00107

r1

100 0101 8 . 0000 1

0∴原方程组的同解方程组： x 1w 8

, y 1w 1,z 7

.

取w 2k，

得到方程组的通解：

线性代数答案与课件,化学工业出版设

x k 8,

y k 1,z 7, 其中 为任意常数。

w 2k

.

（3） x1 2x2 x3 3x4 2x5 1

, 2x1 x2 x3 x4 3x5 6

, x1 x2 2x3 2x4 2x5 2

,

2x1 3x2 5x3 17x4 10x5 5.

解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：

121 32

1 3

2111 36 r1212 2r1

0 1122 22 r3 17

3 r1

5 23 5 17105 r r 0 11

4 2 1 0 1 7 11

rr 1037 63 1 23

r

0 4 851 r4 2r 1037

2

2 3r3r 0 115 41 r0012

2

4 r3

0 8 16102 r 01 1 5

3

0000

1001 5

r1 3r20012 5

r . 3 r2 115 010 3

0000

00

∴ 同解方程组： x1 x4 9x5 15

, x2 3x4 x5 ,

x3 2x4 5x5 1,

x

4 x4,x5

x5,

取x1 k1,x2 k2，得到方程组的通解：

x1 k1 9k2 4,

x2 3k1 11k2 ,

x3 2k1 5k2 , x4 k1

,

x5 4k2.

3. 讨论：当a,b为何值时，下列方程组：

x1 x2 x3 x4 x5 1

, 3x1 2x2 x3 x4 3x5 a,

x2 2x3 2x4 6x5 3,

5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b.

2

1

74

41

63 6

3 5 1 4 1 0

0

线性代数答案与课件,化学工业出版设

有解，在有解的情况下，求它的通解.

解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：

11111

1 111

111

3211 3a r3 3r1 0 1 2 012263 r 2 6a 3

4 5r1 012263 5433 1b

0 1 2 2 6b 5

10 1 1 5 2 r2 r3 12263

r 0

4 r

3 00000a

.

0

0000b 2

显然，当a 0,b 2时，方程组有解；此时，方程组的同解方程组为 ：

x1 x3 x4 5x5 2

, x2 2x3 2x4 6x5 3, 得到方程组的通解：

x1 k1 k2 5k3 2

,x2 2k1 2k2 6k3 3, x3 k1

, x4 k2

,

x5 k3.

其中k1,k2,k3为任意实数。 4.求x,y,z,w使得：

3 xy6 zw x

4x y 12w z w3

解：由 3x3y6 x y 3z3w x 4

1 z w2w 3

得到： 3x x 4, 3y 6 x y,3z 1 z w, 解得：x 2,y 4,z 1,w 3.

3w 2w 3. 2

1

5.（1）已知 A 2 5

10 ,B 1 34 340 ，求2AB和BA；

3 27 0

1

（2）设A 10 24,B 17 ，求2AB 3A及AT 680 5 4 21 B.

2 1

解：（1）2AB 2 10 1 2 5

3

4

340

线性代数答案与课件,化学工业出版设

1 8 10 2 16 20 4 10 21 2 5 2

30 92215 1844

2 1

1 2 5 15 21 BA 10 10 3 . 340 34

3 27 201 3 27 5 17 3 104

（2）2AB 3A 2104

680 4 21 680

12 12 4 9 621 15 18 29 5 3012 25 16 2 ； 214 8 28 862 18240 38 40124 316 201 23 1316 T AB 2085 17 36 166.

740 4 21 6 435

（3）设A是k l矩阵，B是m n矩阵，如果ACB有意义，则C应为l m矩阵.

6．计算：

a11a12 （1） x1x2x3 a21a22 a31a32

a11x1

ax x1x2x 3

211 a31x1 a13 x1

a23 x2 a33 x3 a12x 2a1 x33a2 x2a 2 x2

3

a32x 2a3 33 x

3

x1(a11x1 a12x2 a13x3) x2(a21x1 a22x2 a23x3) x3(a31x1 a32x2 a33x3) 4

0

（2） 1325 25；

7 3 1 12 （3）2 12 24 ； 3 36

1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 00

（4）

1 1 1 1 1 1 1 1 00 1 1 00

7．举例说明下列命题是错误的： （1）若A 0，则A 0 ； （2）若A A，则A 0, …… 此处隐藏：8785字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……