2019【广东专题】高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 专

2019

1 专题强化练十三 直线与圆

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34

C. 3 D ．2 解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心为(1，

4)，

由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1

＝1，解得a ＝－43. 答案：A

2．(2018·安徽合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )

A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100

B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100

C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25

D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25

解析：圆C 的圆心的坐标C (6，8)，则OC 的中点坐标为E (3，4)，则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.

答案：C

3．(2018·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要 解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0

?m ＝±1.

所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．

答案：A

4．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )

A ．2x ＋y －5＝0

B ．2x ＋y －7＝0

C ．x －2y －5＝0

D ．x －2y －7＝0

解析：依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点

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2 (3，1)连线的斜率为12

，所以切线的斜率k ＝－2，故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.

答案：B

5．(2018·广东深圳二模)已知点P (1，m )在椭圆x 24

＋y 2

＝1的外部，则直线y ＝2mx ＋3与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( )

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．相交或相切 解析：由点P (1，m )在椭圆x 24＋y 2＝1的外部，得m 2＞34

，则圆x 2＋y 2＝1的圆心(0，0)到直线y －2mx －3＝0的距离d ＝

|－3|1＋4m 2＜32＜1，所以直线y ＝2mx ＋3与圆x 2＋y 2＝1相交．

答案：B

6．(2018·湖南六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A.?

?????0，125 B ．[0，1] C.?

?????1，125 D.??????0，125 解析：设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.

所以点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .

又因为点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 的关系为相交或相切，所以1≤|CD |≤3， 设圆心C 的坐标为(a ，2a －4)，

所以|CD |＝a 2＋（2a －3）2，

所以1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解得0≤a ≤125

. 答案：A

二、填空题

7．(2018·河南郑州一模)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________．

解析：因为直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，

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3 所以a 3＝2a －1≠3a －（a －7）

，解得a ＝3. 答案：3

8．(2018·青岛质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________．

解析：由y ＝ax 2，得x 2＝y a ，

所以准线l 的方程为y ＝－

14a . 又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为 3.

所以? ????－14a 2＋? ??

??322＝1，则a ＝12. 答案：12

9．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________．

解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，

所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.

又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，

则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短．

因此a ·k CP ＝a ·1－04－3

＝－1，所以a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.

答案：x ＋y －3＝0

三、解答题

10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．

解：圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，

所以圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.

由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，

所以x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.

整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线2x －4y ＋3＝0上，

要使|PM |取最小值时，只要|PO |取最小值即可，

当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小．

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4 解方程组?????2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得?????x ＝－310

，y ＝35. 故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为? ??

??－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2

－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；

(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2

＝25，

所以圆心M (6，7)，半径为5，

(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．

因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，

所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，

从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.

因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.

(2)因为直线l ∥OA ，

所以直线l 的斜率为4－02－0

＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，

即2x －y ＋m ＝0，

则圆心M 到直线l 的距离

d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5

. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，

又|MC |2＝d 2＋? ????|BC |22

，

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5 即25＝（m ＋5）25

＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.