高二1-2-2正余弦定理应用(二)讲义

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

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【考纲说明】

1、掌握余弦定理的准确公式。 2、会应用公式解决相关问题。 3、高考占分10分左右。

【趣味链接】

2、正余弦图形就像正常人的心电图一样，上下波动幅度和周期都很固定。人体的特征周期也可以用三角函数的图像来表示，如下图：

【知识梳理】

一、正弦定理和余弦定理

1

注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinB 二、应用举例

a>b A>B） 2R2R

1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

①北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向； ②北偏本 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；

③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡比） 2、ΔABC的面积公式

1

aha(ha表示a边上的高)； 2111abc

(R为外接圆半径)； （2）S absinC acsinB bcsinA

2224R

（1）S

2

（3）S

1

r(a b c)(r为内切圆半径)。 2

【经典例题】

【例1】在 ABC中，A B是sinA sinB的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知关于x的方程x xcosA cosB 2sin

2

2

C

0的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC一定是 2

（ ）

（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.

【例3】 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC= . 【例4】如图，在△ABC中，若b = 1，

C

B

2

，则。 3

A

b

2，sinB cosB ，则角A的大小

【例5】在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c

，若a 为 ．

【例6】在 中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且4sinABC（1）求 A的度数

（2

）若a b c 3，求b和c的值

【例7】 在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

【例8】如图，在△ABC中，已知a

2

B C7

cos2A 22

3，b 2，B=45 求A、C及c.

【例9】(2010洋浦高二检测)已知a、b、c分别是 ABC的三个内角A、B、C所对的边；(1) 若

ABC面积

3

S ABC

,c 2,A 60 ,求a、b的值；(2)若a ccosB且b csinA，试判断 ABC的形状． 2

【例10】（2010盐城高二检测）某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救。

（1）试问舰艇应按照怎样的航向前进?（2）求出舰艇靠近渔船所用的时间。

(参考数据：cos21.8°＝

1333

， sin21.8°＝， 1414

tan21.8°＝

33) 13

【课堂练习】

1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB. 35

2.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值.

5133、在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状. sinB＋sinC

4.在△ABC中，若sinA＝ ，试判断△ABC的形状.

cosB＋cosC

a2－b2sin（A－B）

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c2 ＝csinC

【课后作业】

a

b

c

1．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )

cos Acos Bcos C

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

3

2．在△ABC中，sin A＝a＝10，则边长c的取值范围是( )

4

15 40A. ，＋∞ B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 0

3 2

3．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

a＋c2B4.在△ABC中，cos＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（ ） 22cA．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

4

5、（2012浙江文）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

，且满足cos （I）求 ABC的面积； （II）若c 1，求a的值． 6、在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

，且满足cos

A ，AB AC 3． 2A ，2AB AC 3．

（I）求 ABC的面积； （II）若b c 6，求a的值．

1

7、在 ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。

3

（I）求sinA的值； (II)设

，求 ABC的面积。

cos Ab4

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．

cos Ba3

【作业条】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【典型例题答案】

1、C；2、C；3、由A+C=2B及A B C 180得B

60，由正弦定理得

11 得sinA ，由a b知

2sinAA B 60，所以A 30，C 180 A B 90，所以sinC sin90 1.；4、1；5、30°或

6．2 1 cos(B C) 2cosA 1

2

1 772

2 1 cos 2cosA 1 ∴cosA 0 A

2322

6

b2 c2 a212

cosA b c a2

3bc将a b c 3代入得bc 2,由b c 3及bc 2，得b 1,c 2

2bc2

或b 2,c 1.

7、由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosA；sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0； A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形

5

asinB3sin45 3

8、由正弦定理得：sinA

b22

∵B=45 <90 即b<a ∴A=60 或120

bsinC2sin75 6 2

当A=60 时C=75 c

sinB2sin45bsinC2sin15 6 2

当A=120 时C=15 c

sinB2sin45

9、（1） S ABC 1bcsinA ， 1b 2sin60 3，得b 1 ， 2222

由余弦定理得：a b c 2bccosA 1 2 2 1 2 cos60 3， 所以a

2

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