高中数学 必修4 2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)全册精品课

无

2.3平面向量的基本 定理及坐标表示

无

复习引入

如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？

a b

无

复习引入

如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？

a b

向量b 与非零向量a共线条件是： 有且只有一个实数 ，使b a .

无

思考:

(1)给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出 向量 3e 2e , e 2e .

1 2 1 2

(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用

形如 1 e1 2 e2 的向量表示？

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢？

e1 e2

a

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

O

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

O

a

C

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

e1

O

A

a

C

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

e1

O

A

a

B

C

e2

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

e1

O

A

M

a

B

C

e2

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

e1

O

A

M

a

B N

C

e2

无

平面向量基本定理：

观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关

e1 e2

a

系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：

e1

O

A

M

a

B N

C

显然： OM ON a

e2

无

归纳：

根据向量共线的条件 存在唯一的一对 , 实数 1， 2，使得： OM 1 e1 , ON 2 e2 , 故a 1 e1 2 e2 .

e1

O

A

M

a

B N

C

e2

无

想一想：

确定一对不共线向量 e1， 2 后， e 是否平面内任意一个向 量都可以用 1 e1 2 e2来表示呢 ？

无

讨论：

⑴ 当a与e1或e2共线时，可令

1或 2为0即可使结论成立.

a

e1 e2

e1 e2

a