§12-5 全微分方程 - 太原理工大学

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第五节 全微分方程一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结

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一、全微分方程及其求法定义: 若有全微分形式 定义:

du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy则 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0称为全微分方程 .

1 2 Q u( x , y ) = ( x + y 2 ), 例如 xdx + ydy = 0, 2 ∴ du( x , y ) = xdx + ydy , 所以是全微分方程. 所以是全微分方程. P Q . 全微分方程 = Y X

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解法: 解法:

P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 全微分方程解法1:应用曲线积分与路径无关. 通解为 u( x, y) = ∫y0

x

x0

P( x, y)d x + ∫y Q( x0 , y)dy0

y

= ∫y Q( x, y)dy + ∫x P( x, y0 )d x, u( x , y ) = C ;0

x

解法2:用直接凑全微分的方法. 解法3:利用不定积分法求 u( x , y )

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例1 求方程( x 3xy )dx + ( y 3x y)dy = 03 2 3 2

的通解.

P Q 解 , 是全微分方程 = 6 xy = 是全微分方程, y x

u( x, y) = ∫0 ( x 3xy )d x + ∫0 y dy3 2 3

x

y

x4 3 2 2 y4 = x y + , 4 2 4 4 4 x 3 2 2 y 原方程的通解为 x y + = C. 4 2 4

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2x y 3x dy = 0的通解. 例2 求方程 3 dx + 4 y y2 2

6 x Q P 解 , 是全微分方程, = 4 = 是全微分方程 y y x 2 1 2x 3x 将左端重新组合 2 dy + ( 3 dx 4 dy ) y y y 2 2 1 x 1 x = d ( ) + d ( 3 ) = d ( + 3 ), y y y y 1 x2 原方程的通解为 + 3 = C . y y

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例3

解方程 (x + y )dx + ( 2 xy + y )dy = 02 2

的通解 .

P Q 方程是全微分方程 解 = 2y = y x u = P = x2 + y2 x 1 3 2 2 2 u = ∫ ( x + y )dx = x + y x + ( y ) 3 1 2 ( y) = y 2 1 3 1 2 2 方程的通解为： 方程的通解为 u = x + xy + y = C 3 2

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二、积分因子法µ ( x , y ) ≠ 0 连续可微函数，使方程

定义:

全微分方程. 则称 µ ( x , .

µ ( x , y ) P ( x , y )dx + µ ( x , y )Q( x , y )dy = 0成为

y )为方程的积分因子.

问题: 如何求方程的积分因子? 问题 如何求方程的积分因子

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( µP ) ( µQ ) 1.公式法: Q 1.公式法: 公式法 , = y x P µ Q µ 两边同除 µ, µ +P =µ +Q y y x x ln µ ln µ P Q 求解不容易 Q P = x y y x特殊地: 特殊地

µ dµ µ , = = 0, a . 当µ只与x有关时; x dx y

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d ln µ 1 P Q ) = f ( x) ∴ = ( dx Q y x µ µ dµ , = 0, = b. 当µ只与y有关时; x y dy d ln µ 1 Q P ∴ = ( ) = g( y ) dy P x y ∴ µ ( y ) = e ∫ g ( y ) dy . ∴ µ( x) = e∫ f ( x ) dx

.

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2.观察法: 凭观察凑微分得到 2.观察法: 观察法 常见的全微分表达式 x2 + y2 xdx + ydy = d 2

µ ( x, y)

xdy ydx y = d 2 x x

xdy ydx y xdy + ydx = d(ln xy) = d arctan 2 2 xy x +y x

xdx + ydy 1 = d ln( x2 + y2 ) x2 + y 2 2 xdy ydx 1 x + y = d ln 2 2 x y 2 x y

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可选用的积

分因子有

1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等. 2 x+ y x x y x + y y x例4 求微分方程

(3xy + y )dx + ( x + xy)dy = 0的通解.2 2

解 Q 1 ( P Q ) = 1 , ∴ µ ( x ) = e ∫

Q y

x

1 dx x

x

= x.

则原方程为

( 3 x 2 y + xy 2 )dx + ( x 3 + x 2 y )dy = 0,

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( 3 x 2 y + xy 2 )dx + ( x 3 + x 2 y )dy = 0,3 x ydx + x dy + xy( ydx + xdy ) 1 3 = d ( yx + ( xy ) 2 ) = 0, 22 3

原方程的通解为

1 2 公式法) 公式法 yx + ( xy ) = C . (公式法 23

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例5 求微分方程

2x(1 + x y)dx x ydy = 0的通解.2 2

解 2xdx + 2x x2 ydx 2 2 2

x ydy = 0,2 2

d( x ) + x yd( x ) x ydy = 0,将方程左端重新组合,有 将方程左端重新组合 有

d( x ) + x yd( x y) = 0,2 2 2

3 2 2 原方程的通解为 x2 + ( x y)2 = C. 3

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2xy ln ydx + ( x + y22

例6 求微分方程

2

1 + y )dy = 0的通解.22 2

将方程左端重新组合,有 解 将方程左端重新组合 有

2 ( xy ln ydx + x dy) + y 1 + y dy = 0, 1 易知 µ ( x , y ) = , y 2 x 2 dy) + y 1 + y dy = 0, 则 (2x ln ydx + y 3 1 2 2 2 即 d( x ln y) + d(1 + y ) = 0. 3 3 1 原方程的通解为 x2 ln y + (1 + y2 )2 = C. 3

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dy x2 + x3 + y 的通解. 例7 求微分方程 = dx 1+ x dy 1 2 y = x , + 解1 整理得 dx 1 + xC . 常数变易法: A 常数变易法: 对应齐方通解 y = 1+ x x3 x4 C ( x) . C( x) = + C . 设 y= 3 4 1+ x公式法: B 公式法: y = e

[∫ x e x3 x4 通解为 y + xy + + = C. 3 42

∫

1 dx 1+ x

∫

1 dx 1+ x

dx + C ],

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2 3 解2 整理得 ( x + x + y )dx + (1 + x )dy = 0,

P Q Q , =1= y xx 2

∴ 是全微分方程 .y

A用曲线积分法: 用曲线积分法

u( x , y ) = ∫0 ( x + x )dx + ∫0 (1 + x )dy ,3

B凑微分法: 凑微分法:

dy + ( xdy + ydx ) + x dx + x dx = 0, 3 4 x x dy + d ( xy ) + d + d = 0, 3 4 4 3 x x d ( y + xy + + ) = 0. 3 42 3