【配套K12】2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作

小初高试卷教案类

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课时分层作业三十四

数列的综合应用

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知a,b,c是三个不同的实数,若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则a∶b∶c为( )

A.2∶1∶4

B.(-2)∶1∶4

C.1∶2∶4

D.1∶(-2)∶4

【解析】选B.由a,b,c成等差数列,设a=m-d,b=m,c=m+d,d≠0,

因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),

化简,得d=3m,则a=-2m,b=m,c=4m,

所以a∶b∶c=(-2)∶1∶4.

2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )

A.n(2n+3)

B.n(n+4)

C.2n(2n+3)

D.2n(n+4)

【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).

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3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )

A.6

B.7

C.8

D.9

【解析】选D.由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,

所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.

因为a,b,-2适当排序后成等比数列,

所以-2是a,b的等比中项,所以ab=4,

所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,

所以-2是第一项或第三项,不妨设a<b,

则-2,a,b成递增的等差数列,

所以2a=b-2,联立

消去b得a2+a-2=0,

解得a=1或a=-2,又因为a>0,

所以a=1,此时b=4,

所以p=a+b=5,

所以p+q=9.

当b<a时,同样求得p+q=9.

【变式备选】如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A 作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C 的垂线,垂足为A3;…,以此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________.

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【解析】根据题意易得a1=2,a2=,a3=1, 所以数列{a n}构成以a1=2,q=的等比数列, 所以a7=a1q6=2×=.

答案:

4.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,

则

+等于

( ) A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,

则+==

==2.

【一题多解】解答本题,还有以下解法:

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K12小学初中高中 特殊值法:选C.因为a,b,c 成等比数列,

所以令a=2,b=4,c=8,

又a,m,b 和b,n,c 分别成两个等差数列,

则m==3,n==6, 因此+

=+=2.

【变式备选】各项都是正数的等比数列的公比q ≠1,且a 2,a 3,a 1成等差数列,则的值为________.

【解析】{a n }的公比为q(q>0且q ≠1),由a 3=a 2+a 1,得q 2-q-1=0,解得q=,而===.

答案:

5.(2018·宜宾模拟)数列{a n }的通项a n =n(cos 2

-sin 2),其前n 项

和为S n ,则S 40为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.25

【解析】选C.由题意得,a n =n(cos 2-sin 2)=ncos ,

则a 1=0,a 2=-2,a 3=0,a 4=4,a 5=0,a 6=-6,a 7=0,…,

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于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,

则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)

=-2+4-…+40=20.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.对于每一个正整数n,设曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=log2x n,则a1+a2+a3+…+a62=________.

【解析】因为y′=(n+2)x n+1,当x=1时,y′=n+2,

所以曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线方程为y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得x n =.

所以a n=log2x n=log 2.

所以a1+a2+a3+…+a62=

log 2=log 2=-5.

答案:-5

7.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________. 【解析】每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前

n项和S n ===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.

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答案:6

8.(2018·襄阳模拟)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,则g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=________.

【解析】由g(n)的定义易知g(n)=g(2n),且若n为奇数则g(n)=n,

令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n-1)

则f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(-1)

=1+3+…+(-1)+g(2)+g(4)+…+g(-2)

=+g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=4n+f(n),

即f(n+1)-f(n)=4n,据此可得:

f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,…,

f(n)-f(n-1)=4n-1,

以上各式相加可得:f(n)==.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2018·南宁模拟)某体育场一角的看台共有20排,且此看台的座位是这样排列的:第一排有2个座位,从第二排起每一排比前一排多1个座位,记a n表示第n排的座位数.

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K12小学初中高中 (1)确定此看台共有多少个座位.

(2)求数列的前20项和S 20.

【解析】(1)由题可知数列{a n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以a n =2+n-1=n+1(1≤n ≤20). 所以此看台的座位数为=230.

(2)因为==-,

所以S 20=1-+-+…+-=1-=.

10.已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.

(1)设c n =-,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列.

(2)设a 1=d,T n =

(-1)k ,n ∈N *,求证:<.

【解析】(1)c n =-=a n+1a n+2-a n a n+1 =2d ·a n+1. c n+1-c n =2d(a n+2-a n+1)=2d 2为定值. 所以数列是等差数列.

(2)T n

=

(-1)

k =c 1+c 3+…

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K12小学初中高中 +c 2n-1=nc 1+

·4d 2=nc 1+2d 2n(n-1)(*). 由已知c 1=-=a 2a 3-a 1a 2=2d ·a 2=2d(a 1+d)=4d 2,

将c 1=4d 2代入(*)式得T n =2d 2n(n+1), 所以= = =<,得证.

【变式备选】已知二次函数y=f(x)的图象的顶点坐标

为

,且过坐标原点O.数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )(n

∈N *)在二次函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列{a n }的通项公式.

(2)设b n =a n a n+1cos(n+1)π(n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为T n ,若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立,求实数t 的取值范围.

【解题指南】(1)由已知可得数列{a n }的前n 项和S n 的公式,再利用a n = 求得数列{a n }的通项公式.

(2)分n 为奇数与偶数先求出T n ,T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立,通过分离参数t 转化为求函数的最值,即可求得实数t 的取值范围.

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K12小学初中高中 【解析】(1)由题意可知f(x)=(x+1)2-. 所以S n =(n+1)2-

=n 2+n(n ∈N *).

当n ≥2时,a n =S n -S n-1 =n 2+n-=.

当n=1时a 1=S 1=1适合上式, 所以数列{a n }的通项公式为a n =

(n ∈N *).

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