线性代数试卷及答案 卷A

河南工业大学成教学院课程 线性代数卷A 试卷及答案

河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷

专业班级： 卷A

姓 名： 学 号：

注：（1）不得在密封线以下书写班级、姓名。（2）必须在密封线以下答题，不得另外加纸。 ………………………………………密 封 线 ………………………………………………………

一 .单项选择题（每题3分）

1.若 a11a12a122a110

a21a22 6，则 a2202a210 的值为（ A ）

2 1

（A）12 (B) –12 (C) 18 (D) 0

2.设A、B都是n阶矩阵，且AB=0,则下列一定成立的是（ C ）

（A）A=0或B=0 (B) A、B都不可逆

（C）A、B中至少有一个不可逆 （D）A+B=0

kx1 x2 x3 0 3. 若齐次线性方程组 x1 kx2 x3 0仅有零解，则（ B ）

2x x x 0 123

(A) k 4或K 1 (B) K= －4或K=1

(C) K 4且K 1 (D) K 4且k 1

4. A、B均为n阶可逆矩阵，则AB的伴随矩阵(AB)* ( D )

(A) A B (B) |AB|A 1B 1 (C) B 1A 1 (D) B A

5.设n元齐次线性方程组AX 0的系数矩阵的秩为r，则AX 0有非零解的充分必要条件是（D）

（A）r n （B） r n （C） r n （D）r n

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二 .填空题（每题3分）

1

2

3

52320340045001．行列式 _______

2．若n n阶矩阵A的行列式|A|＝3，A 是A的伴随矩阵，则A 3. A为n n阶矩阵，且A2 3A 2E 0,则A 1=______

n

4. 11

00 为正整数)

5. 设A 1 1 －

01 , 则(2A)1 ________

三．计算题（共63分）

b＋a1a2an

1. 计算行列式a1b＋a2an(12分)

a1a2b＋an

解：r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1

D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|

-b b 0 ..................... 0

-b 0 b ......................... 0

.............................

-b 0 0 .......................... b

c1+c2+c3+...+cj+...+cn

=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|

0 b ................. 0 ......................................

0 0 .................... b

=(b+Σai)*[b^(n-1)]

=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)

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3 22． A 0 01 1 , 求A 1（12分） 5 3

1

解：令 ， ，D= ，则原矩阵可以写为分块 2 3 -1 1 3

B C -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ，它的逆矩阵易得为A^-1=

0 D 0 D ^-1

而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到

3 3 -4

-2 -2 3

2 3 -5

=

-1 -1 2

-15 计算可得-B^-1CD^-1=

11

3 -4 -22 37

-2 3 16 -27

所以A^-1= 0 0 3 -5

0 0 -1 2

413 10201

3. x1 2x2 2x3 x4 0 求解齐次线性方程组 2x1 x2 2x3 2x4 0.（15 x x 4x 3x 034 12分）

解：基础解系为：

1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/3

2 1 -2 -2 -3 -6 -4 1 2 4/3

1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0

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通解为：

X1

2k1+5/3k2 2 5/3 X=k1ξ1+ k2ξ2 X2 = -2k1-4/3k2 =k -2 -4/3 X3 k1 1 0

X4 k2 0 1

21 1

4. 设A 210 ,B 1 13

1 11 求解矩阵方程XA B

432

解:

a3

5. 112

计算矩阵A 22314 的秩为3，求a (12分)

解：r4-r2,r1-r3,r2-2r3 10115

0 1 1 a-1 -2 23554

0 2 1 -1 -6

1 0 1 1 5

0 1 2 4 0

r1-r4,r2-2r4

0 0 -1 a-5 -2

0 0 -3 -9 -6

12分） （

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1 0 1 1 5

0 1 2 4 0

r3*(-1/3), r1+r2

0 0 0 a-2 0

0 0 1 3 2

1 0 1 1 5

0 1 2 4 0

交换行

1 0 1 1 5

0 1 2 4 0

0 0 1 3 2

0 0 0 a-2 0

因为 r(A)=3, 所以 a = 2.

四.证明题（7分）

设A3 2E,证明A 5E可逆，并求(A 5E) 1（7分）

解：（A+5E）【1/127（A^2-5A+25E）】=1/127（A+5E）（A^2-5A+25E）

=1/127（A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E） =1/127（A^3+125E）

由于A^3=2E，所以1/127（A^3+125E）=1/127（127E）=E，

所以（A+5E）可逆，且（A+5E）^-1=1/127（A^2-5A+25E）