插值振型函数法求解移动荷载作用下等截面连续梁的动态响应

基于304不锈钢在不同加载速率和不同保持时间下得到的非比例多轴时相关棘轮行为的实验研究结果,在Abdel-Karim-Ohno模型的基础上,建立了一个非比例多轴时间相关循环本构模型。该模型通过在背应力演化律中引入与非比例度相关的静力恢复项,在各向同性硬化律中引入Tanaka非比例度来考虑非比例路径对时间相关棘轮行为的影响。模拟结果与实验结果的比较表明：该本构模型对室温和高温下多轴时间相关棘轮行为的演化规律均

振动与冲击

第24卷第2期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVol.24No.22005

插值振型函数法求解移动荷载作用下等截面连续梁的动态响应

沈火明　　肖新标

(西南交通大学应用力学与工程系,成都610031)

　　摘　要　根据哈密顿原理,应用插值振型函数法,分析了多跨连续梁在移动荷载作用下的车桥耦合振动动态响应。

经实例讨论分析,给出了多跨等截面连续梁在不同速度移动荷载作用下的数值结果。实例分析表明,该方法具有很好的收敛性和很高的精度。具通过对结果的分析讨论,得到了多跨连续梁在移动荷载作用下的一些规律。

关键词:动态响应,插值振型函数法,移动荷载,连续梁中图分类号:O327　　文献标识码:A

0　引　　言

近年来,结构在移动荷载作用下的振动问题又得到了广泛的关注。相对于简支梁,连续梁在移动荷

载作用下的车桥耦合振动的最大问题就是在于桥梁振型函数的确定。多跨连续梁的振型函数还没有统一的解析表达式,不同的研究从不同的假设出发,对桥

梁的振型函数进行确定,从而实现问题的求解

。[2]

Lee,所以将中间点约束看作刚性的线性弹簧约束,这样的模型简化必然会引起误[3][4][5]

差。Zheng和Cheung采用了修正的振型函数作为假设模态,能满足桥梁两端和中间支撑点的所有零挠度条件。但是由于获得修正的振型函数还是建立在简支梁的振动模态上,且计算过程比较繁杂,不利于推广利用。

SaadeghvaziriMA曾经用有限元软件ADINA对移动荷载作用下的桥梁进行响应计算,但是他同时也指出了用有限元软件处理该类问题在网格划分和加

[8]

载处理的不足。

插值振型函数法是基于ANSYS对桥梁系统的模态分析结果,进行三次样条插值而得,不单满足梁两端的零挠度边界条件,而且满足梁中间支撑点处的零挠度条件,能真实反映连续梁的各阶振型。本文采用插值振型函数法来获得多跨连续梁的振型函数,并在些基础上对移动荷载作用下桥梁的车桥耦合振动进行了求解,给出了等截面连续梁在不同速度移动荷载作用下的数值结果。实例分析同时表明,该方法具有

西南交通大学基础科学研究基金资助(2001B13)

收稿日期:20030627　修改稿收到日期:20031026第一作者　沈火明　男,副教授,1968年生

[2-7]

[1]

很好的收敛性和很高的精度。

1　假设和公式

如图1所示,受到N性欧拉-Q1)个支撑点。荷载{Ps,=,N},以一个已知的速度v。荷载的位置用ss=1,2,…,N}来表示。w(x,t)为桥梁的挠度,V为动能,U为弯曲势能,W为外力所作的功。

图1　多个移动荷载作用下的连续梁

LρV=A(x

)209t

U

∫=EI(x)2∫

L

2

dx

2

(1)(2)

1

2

()

29x

2

dx

N

W=

s=1

∑Pw[x

s

ps

(t),t][u(t-τs)-u(t-τs)]

(3)

其中,ρ为梁的密度,E为梁的杨氏模量,A(x)为梁的

1

截面积,I(x)为梁截面的惯性矩,τs为荷载Ps进入梁的时间,τs为荷载Ps离开梁的时间。u(t)是单位阶跃函数,它的定义为:

2

基于304不锈钢在不同加载速率和不同保持时间下得到的非比例多轴时相关棘轮行为的实验研究结果,在Abdel-Karim-Ohno模型的基础上,建立了一个非比例多轴时间相关循环本构模型。该模型通过在背应力演化律中引入与非比例度相关的静力恢复项,在各向同性硬化律中引入Tanaka非比例度来考虑非比例路径对时间相关棘轮行为的影响。模拟结果与实验结果的比较表明：该本构模型对室温和高温下多轴时间相关棘轮行为的演化规律均

　28　

u(t)振动与冲击2005年第24卷

1,tΕ00,t<0

n

(4)

通过分离变量,梁的挠度w(x,t)可以表示成

w(x,t)=∑qi(t)Xi(x)

i=1

(5)

分析所得的数据是系统离散后节点的离散数据,而不

是以函数形式来表示的,还不能直接应用于方程(1)。

根据数值计算方法可知,通过对已有的离散数据的插值,可以求得相应的插值函数。但由式(2)可知,从已有离散数据不单要求出桥梁的振型函数,同时还要求得振型函数的二阶导数。这样对振型函数的光滑性要求就比较高,故而考虑应用三次插值样条方法来确定桥梁的振型函数。Matlab是功能较强的工程数学工具软件,其中的样条工具箱(SplineToolbox)提供了大量有关样条函数的操作函数。

函数Csape()的功能是构造各种边界条件下的三次插值条函数,它的格式是PP=csape(x,y,[,conds[,valconds]])。(x,y)是插值点的序列,PP为指定conds条件下以(x,y)为插值点所返回的PP形式的三次样条函数。Conds是字符串类型,为边界条件;可为“C,N,P,V或S”,C为给定端点的斜率,N为两个端点存在三阶连续导数,P,V为给定端,Val2。

(,它fpme=fnder(f,dorder)。函数返回样条函数f的第dorder阶微分,当dorder为负数时,函数返回以dorder的绝对值为阶的样条函数f的不定积分。

综合ANSYS模态分析功能和MatLab数据处理能力,就可以实现连续梁系统振型函数以及其二阶导数函数的确定。至此,就可确定系统的运动方程。

MatLab具有较强的数值计算能力,而且是基于矩阵运算的,它的矩阵运算能力和速度都是极好的。所以针对具体的情况,将方程(1)进行矩阵化处理后,应用四阶五次Ruge-Kutta调用MatLab内部函数ode45(),编程实现系统运动方程的求解。

[9]

式中,{Xi(x),i=1,2,…,n}是满足边界条件的假设振动模态,{qi(t),i=1,2,…,n}是梁的总体坐标。梁的振动速度和曲率分别为

=9t

2

n

(t)X ∑q

i

i=1n

i

(x)(6)

″

(7)=∑qi(t)Xi(x)2

9xi=1

(7)和(5)代入式(1)、(2)和(3),有分别将式(6)、

V=

2=2U=

2=2

N

ρA(x)q(t)X∑∑∫

i=1n

j=1n

nn

L

ii

(x)qj(t)Xj(x)dx

(8)

∑∑

i=1n

j=1n

i=1n

j=1n

qi(t)mijqj(t)

L

EI(x)q(t)X∑∑∫

i

″

i

(x)qj(t)Xj(x)dx

(9)

″

∑∑q(t)k

i

i=1

j=1n

s

i

i=1

ij

qj(t)

[xps(t)][u-sW=

s=1

∑∑Pq(t)X

2

L

i

　　-u(t-τs)]其中,

mij=kij=

)

ρA(x)Xx)X(x)dx

∫

EI(x)X(x)X(x)dx∫

i

j

L

(11)(12)

″

i

″

j

分别是总体质量矩阵和刚度矩阵。

L是梁的拉格朗日函数,L=V-(U-W),其中(U-W)为总势能。又,欧拉-拉格朗日方程为

)-)=0(13)dt9q 9qii

将式(8)—(10)代入式(13),有

n

n

ij

3　算例分析

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