点集拓扑讲义教案

点集拓扑学教案

为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。

按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。

本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：

3 .3 四 4 .1 4 .2 4 .3 4 .4 4 .5 五 5 .1 5 .2 5 .3 六 6 .1 6 .2 6 .3 6 .4 6 .5 6 .6 七 7 .1

商空间 连通性 连通空间

1 8 2

例3.3.3起不讲 习题课时1

连通性的某些简单应用

1

连通分支

1

局部连通空间

2

道路连通空间 有关可数性的公理 第一与第二可数性公理

1 6 2

道路连通分支不讲 习题课时1

可分空间

1.5

定理 5.2.1 不讲

Lindeloff空间 分离性公理

1.5 8 2 习题课时1.5

T0 ,T1 、Hausdorff 空间正则、正规、 T3 ,T4 空间 Urysohn 引理和 Tietze 扩张定 理 完全正则空间, Tychonoff 空间 分离性公理与子空间、积空间和 商空间 可度量化空间 紧致性 紧致性

1.5

例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的 证明

1

1

1

1 10 3

定理 6.6.1 讲部分 习题课时1 定理 7.1.6 讲部分

7 .2 7 .3 7 .4 7 .5 7 .6

紧致性与分离性公理

1

引理 7.3.2 用分析中的结论

n 维欧氏空间 R n 中的紧致子集

0.5

几种紧致性以及其间的关系

1.5

度量空间中的紧致性

1

局部紧致空间, 仿紧致空间

1

定理 7.6.8 不讲

第一章 朴素集合论

点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提.

记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.

教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理

一. 集合的运算

幂集 P(X), 交∩ 、并∪、差－(补, 余A,A).

c

/

运算律: De Morgan 律: (1) A -(B C) (A-B) (A-C). (2) A -(B C) (A-B) (A-C)A-(B∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1).

类似可定义任意有限个集的交或并, 如记

A1 A2 ... An (A1 ... An 1) An i nAi i 1AiAi. 规定 0 个集之并是

n

, 不用 0 个集之交.

二. 关系

R 是集合X 的一个关系, 即R X X,(x,y) R记为 xRy, 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若 x X, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.

如, Δ(X)={(x, x )|x X}, 恒同关系, 它是等价关系; {(x, y)| x, y R, x y}，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的.

设 R 是 X 上等价关系, x X, x 的 R 等价类或等价类[x]R或[x]为{y X | xRy}, [x]R 的元称为[x]R 的代表元; 商集 X/R {[x]R | x X}.

定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则

(1) x X, x [x]R;

(2) x, y X，或者[x]R =[y]R , 或者[x]R [y]R

证(2). 设z [x]R [y]R, 则ZRx,zRy, 于是[x]R [y]R且[x]R [y]R, 于是

[x]R [y]R.

三. 映射

函数：f:X Y.

像： A X,f(A) {f(x)|x A}； 原像： B Y,f 1(B) {x X|f(x) B}

满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射iX、限制f|A、扩张、内射iX|A:A X

集合Xi,i n, 笛卡儿积

X1 X2 ... Xn 1 i nXi i 1Xi {(x1,x2...xn)xi Xi,i n}到第i个坐标集Xi

的投射pi:X Xi 定义为p(x) xi, 其中x (x1,..,xn).

对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X X/R定义为 p(x) [x]R. 四. 集族

数列{xn} {xn}n Z , 有标集族{A } , 指标集 Γ, 与{A }不同, 可记有标集族

n

A {A } A; 类似地, 定义其并 A (或∪A)、交 A (或∩ A), 不定义 0 个集的交. 与

有限集族有相同的运 算律, 如 De Morgan 律

A A (A A ),A A A ,

映射对应的集族性质: f(

A ) f(A ),f( A ) f(A ),

1

f

1

( B ) f

(B ),f

1

( B ) f

1

(B )

五. 无限集

通过一一映射来确定两集合的个数的多少.

有限集( 或与某{1, 2, … , n}有一一映射), 无限集, 可数集( 或存在X到 Z+的单射),不可数集.

易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 1.7.3X是可数集 X是 Z+的映像.

由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集. 定理 1.7.8 R 是不可数集.

利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 .

直观上, 集合 A中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z+|=a, |R|=c. 若存在 从集合 A 到集合 B 的单射, 则定义|A|≤ |B|.

连续统假设: 不存在基数 , 使得a c .

选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则 A A, 可取定 (A) A..

由选择公理可证明, 若 , 是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: , ,

第二章 拓扑空间与连续映射

本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.

教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系； 教学难点：基与子基；可度量化空间

2.1 度量空间与连续映射

在 R 上, |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , :X X R. 如果 满足正定性、对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量.(X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离.

例 2.1.1 实数空间 R. (x,y)=|x -y|, R 的通常度量.

例 2.1.2 n 维欧氏空间 R R R ... R. 对于x R, 记 x (xi)1 i n 定义 (x,y) 氏空间. R2 称为欧氏平面或平面.

例 2.1.3 Hilbert 空间 H.

n

n

(x

i 1

n

i

yi)2 为 Rn 的通常度量, n 维欧

H {x (x1,x2,..xn...) xi2 },

i 1

定义 :H H R(x,y) (x,y)

间.

例 2.1.4 离散度量空间.

度量空间(X, )称为离散的, 若x X, x 0, 使得不存在X中的点y x, 满足

2

(x y) iii 1

, 易证 为度量 则度量空间 (H, )称为 Hilbert 空

(x,y) x 如对集合X, 按如下方式定义 :X X R 是X上的离散度量:

0,x y

(x,y)

1,x y

定义2.1.2 设(X, )是度量空间

B(x, ) {y X (x,y) }

称为以x为心, 为半径

的球形邻域或 邻域, 或球形邻域. …… 此处隐藏：7979字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……