曲线偏角与切线角的关系

高中物理教学艺术

道路中线有一个方向偏转为另一个方向时，偏转后的方向与原方向之间的夹角称为转折角，也称转角或偏角。

1、曲线起点或终点至曲线上任一点P的弦长与切线T之间的偏角“数学上叫弦切角”和弦长C来定P点位置的方法称偏角法也就是极坐标法。

有几何原理可知，圆曲线偏角Δ等于相应弧（弦）所对圆心角的一半。
即：圆曲线偏角Δ=Φ/2=(ι/2R)*(180/π)=>Δ=(90ι)/(Rπ)；【度】
或Δ=Φ/2=((ι/2Rπ)*360°)*(1/2)=(ι/(2Rπ))*180°=(90ι)/(Rπ)【度】；
辅点间弦长Ci=2R*(sinΔ)=2R*sin(Φ/2)
式中：ι--该段曲线的长度,即弧长；Φ--圆心角；R--半径；

弦切角的性质：①弦切角等于它所夹的弧的一半。②弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
圆曲线上任一点P处的切线与过起点切线的交角β称为切线角，β值与圆曲线上该点的曲线长（弧长）所对的圆心角相等。
圆曲线上任一点偏角： Δ=Φ/2=(90ι)/(Rπ)【度】
圆曲线上任一点切线角：β=2Δ=(180ι)/(Rπ)【度】

2、圆曲线切线支距法
切线支距法也叫直角坐标法。是以曲线起点（ZY)或终点(YZ)为坐标原点，切线方向作为坐标纵轴X，过原点的半径方向为横轴Y，建立直角坐标系。根据各辅点（加桩）的坐标X,Y值来进行辅点测设。
切线支距公式：Xi=R*sin2Δi；
Yi=R-R*cos2Δi=2R*sin2Δi[sin2Δi中2为平方]=R*(1-cos2Δi)
式中Δi为各辅点的偏角。
当测设精度不太高时也可用近似公式计算：Y=X2[2为平方]÷2R；

3、圆曲线中央纵距法
曲线上弦的中点至曲线的距离垂距叫该弦线的中央纵距，可用它测设圆曲线的辅点的位置。
求曲线起点ZY和终点YZ连线（叫长弦以C表示）的中点至圆曲线中点(MC)的垂距（M）。
计算公式：M=R(1-cos(β/2))；C=2R*sin(β/2).式中β为圆曲线的切线角即转角。

二、缓和曲线偏角与切线角关系：

1、缓和曲线切线角

缓和曲线上任一点P处的切线与过起点切线的交角β称为切线角，β值与缓和曲线上该点的曲线长（弧长）所对的圆心角相等。
即：切线角β=ι2/(2Rιs)*(180/π)=>β=(90ι2)/(Rπιs) 【度】；

当ι=ιs时，缓和曲线全长ιs所对应的圆心角即切线角β(总)=ι2/(2Rιs)*(180/π)=(90ιs)/(Rπ)【度】；
式中：ι2 ---ι的平方；ιs---曲线全长；ι---任一段曲线长。

2、弦长C=2R*(sinΔ)=ι-(ι3/24R2)

弧弦差ΔC=ι-C=ι3/(24R2)

其中：ι---弧长；R---半径；Δ---弦切角；C---弦长

3、缓和曲线偏角公式

曲线上的偏转的角值，可分为缓和曲线上的偏角和
圆曲线上的偏角两部分。

缓和曲线上任一点偏角：
δ=ι2/(6Rιs)*(180/π)=>δ=(90ι2)/(3Rπιs)=(30ι2)/(Rπιs) 【度】

当ι=ιs时，缓和曲线的总偏角：
δ(总)=ιs/(6R)*(180/π)=(30ιs)/(Rπ) 【度】

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由于β=(90ι2)/(Rπιs) ，上式可写成：缓和曲线δ(偏角)=(1/3)*β(缓和曲线切线角)