地大高等数学一试卷及答案

《高等数学一》试卷

一． 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

2sinxx2 x

1．lim2 2．lim

x 0x x xx

3．lim(1 ) 4

．

x

1

x

x

;

5．d(2x ex) 6．已知f'(x0) 1, 则lim7

．函数F(x)

x

x 0

f(x0 x) f(x0 x)

x

2dt的单调增区间为 ; 0

8．

1dx

dx d(3 5lnx); 9． 1 x2

x

10．微分方程 y y 0的通解是 二． 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1

．函数f(x) ln(x 1)arcsinx的定义域是（ ）。

A．（-1 , 1 ] B．[ -1 , 1 ] C．（-1 , 2 ] D．[-1 , 2 ] 2．当x 0时，f(x) tanx sinx是x的（ ）。

A．低阶无穷小 B．等阶无穷小 C．同阶但不等阶无穷小 D．高阶无穷小

x2 a,x 03．设f x 在x 0上连续，则a的值为（ ）。

sinx,x 0

A．-1 B．0 C．1 D．2 4．函数f x lnx在x 0点（ ）。

A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．不连续且不可导 5．下列论述正确的是（ ）。

A．驻点必是极值点 B．极值点必是最值点 C．可导的极值点必是驻点 D．极值点必是拐点 6．下列凑微分正确的是（ ）。 A．xedx de

x2

dx d lnx 1 B．x1

1

x2

C．arctanxdx d

1 1

cos2xdx d(sin2x) D．2 21 x

7．设F(x)是f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ ）。

b d

A．d f(x)dx f(x)dx B．

dx a

f(x)dx f(x) c

x

x d C．d f(x)dx f(x)dx D． f(x)dx f(x) c

dx a a

8．下列那一项不是常微分方程（ ）。

A．3y2 2x y 0 B．(x2 y2)dx (x2 y2)dy 0 C．y 3y 0 D．y 3x siny 三． 计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

dy1 x31 1

1．limcotx ，求 2．设y ln2x 0dx1 x sinxx

41 x arctanxdx 4

． 1 x2 0x dy

e y(x x3)的通解。 5．求微分方程dx

3．

四． 应用题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．已知曲线y y(x)满足方程siny x ey 0，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 2．计算抛物线y x2与y2 x所围成的图形的面积。

3．要制作一个容积为V的圆柱形带盖铁罐，问圆柱的高h和底半径r各为多少时，可使所用材料最少？

五． 证明题（本大题共5分）

x

当x 0时，e 1 x.

高等数学（一）答案 一、填空题 1、 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、选择题

CA

三、计算题 1、limcotx

x 0

1 1

sinxx

cosxx sinxx sinx1 1

=limcosxlim =lim3x 0x 0x 0sinxxsinxx sinxx

解： limcotx

x 0

=lim

sinx11 cosx

lim== x 06xx 063x2

1 x3dy

2、设y ln，求

dx1 x2

解：

dy =ln1 x3 ln1 x2=ln(1 x3) ln(1 x2)

dx

dln(1 x3)d(1 x3)dln(1 x2)d(1 x2)= d(1 x3)dxd(1 x2)dx

3x22x

.=

1 x31 x2

1 x arctanx

dx 2 1 x3、

解：

1 x arctanx1xarctanx

dx = 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2dx

1d(1 x2)

arctanxd(arctanx) =arctanx 2

21 x

=arctanx

4

、

11

ln(1 x2) (arctanx)2 C 22

1

x

时t 1，故

解：

t，那么x t2， dx 2tdt， 且x 0时t 0，x 1

1

x= et 2t dt=2tet0 etdt2= 2(e et

1

11

1

)=2

5、求微分方程

e y(x x3)的通解。 dx

解：这是变量分离方程，变量分离eydy (x x3)dx，

y

两边积分，有eydy (x x3)dx c，即e

1214

x x c为原方程的通解。 24

四、应用题

1、已知曲线y y(x)满足方程siny x ey 0，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。 解：在方程两边关于x求导， 有

cosy y ey x ey y 0

ey

所以y ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率k切 y (0,0) 1，故 y

cosy x e

切线方程为y x。

2．计算抛物线y x2与y2 x所围成的图形的面积。

解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取x为积分变量， 那么

2

s (x x)dx =x2

03

1

2

31

11

=。 x310

33

3、解：

五、证明题

当x 0时，ex 1 x.

解：解法一：利用中值定理。考虑函数f(u) eu，显然函数在[0,x]上满足拉格朗日中值定理，所以存在 (0,x)， 使得

f(x) f(0) f'( )(x 0)

x0

即e e ex，因为e 1， 所以当x 0时，ex 1 x成立。

解法二：利用函数的单调性。 考虑函数f(x) ex x， 那么 f (x) ex 1

当x 0时f (x) ex 1>0，所以f(x) ex x单调递增。从而

f(x) ex x f(0) 1。命题得证。