§2.3.1圆的标准方程

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§ 2.3.1

圆的标准方程

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一. 圆的标准方程平面内到一个定点的距离等于定长的轨 迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。 求以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程. 设M(x,y)是⊙C上任意一点，点C在 ⊙C上的条件是|CM|=r.

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也就是说，如果点M在⊙C上，则|CM|=r, 反之如果|CM|=r,则点M在圆C上。 由两点间的距离公式，所说的条件转 化为方程表示

( x a ) ( y b) r2 2

两边平方得 (x-a)2+(y-b)2=r2.

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注意以下三点： 1.已知圆心C(a,b),半径为r,则圆的 标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.当圆心在坐标原点时，圆的标准方程

为x2+y2=r2.3.圆的标准方程的优点在于明确地指出

了圆心和半径.

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二.点与圆的位置关系 给出点M1(x1,y1)和圆C:(x-a)2+(y- b)2=r2,通过比较点到圆心的距离和半径r 的大小关系，得到：(1)若点M1在圆C上，则有(x1-a)2+(y1 -b)2=r2; (2)若点M1在圆C外，则有(x1-a)2+(y1 -b)2>r2; (3)若点M1在圆C内，则有(x1-a)2+(y1 -b)2<r2.

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三.确定圆的方程的方法和步骤 1.圆的标准方程中含有三个参变数，必 须具备三个独立的条件；才能定出一个圆 的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待 定系数法求圆的方程。 2.求圆的标准方程的一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2;

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(2)根据已知条件，建立关于a、b、r的

方程组；(3)解此方程组，求出a、b、r的值；

(4)将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.

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例1.根据下列条件，求圆的方程： (1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2, -2); (2)圆心在点C(1,3),并与直线3x- 4y-6=0相切； (3)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 . 解：(1)所求圆的半径r=|CA|=5,因为圆 心在点C(-2,1),所以所求圆的方程为 (x+2)2+(y-1)2=25.

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(2)圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y -6=0相切； 解：(2)因为直线3x-4y-6=0是所求圆 的切线，所以圆心到这条直线的距离等于 半径， 根据点到直线的距离公式，得r | 3 1 4 3 6 | 32 42 3

所以所求圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9.

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(3)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 . 解：(3)设圆心坐标为(a,b),则圆的方 程为(x-a)2+(y-b)2=5. 已知圆过点(0,1)和点(2,1),代入圆的 方程得 a 2 (1 b) 2 5 (2 a ) 2 (1 b) 2 5 a1 1 解得 b1 1

或

a2 1 b2 3

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或 (x-1)2+(y-3)2=5。

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例2.求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在 直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程。 解法1. 直线AB的斜率k=-1,所以AB的垂 直平分线m的斜率为1, AB的中点的横坐标和纵坐

标分别为 7 5 x= ,y= .2 2

因此直线m的方程为y-即x-y-1=0.

7 2

=x-

5 2

,

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又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直 线m的交点，解联立方程组 x y 1 0 2 x 7 y 8 0

得

x 3 y 2

所以圆心的坐标是C(3,2),半径 r=|CA|= 13,

所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.

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解法2. 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y- b)2=r2,由题意得 a 2 (6 a) 2 (0 b) 2 r 2 2 2 2 (1 a) (5 b) r 解得 b 3 r 2 13 2a 7b 8 0

所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.

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例3.赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高 约为7.2m,求这座圆拱桥的拱圆方程。 解：如图，以AB的中点为原点，x轴通 过AB建立直角坐标系。 根据已知条件，B,C的坐 标分别为(18.51,0),(0, 7.2),设圆心的坐标为(0, b),则圆的方程为x2+(y- b)2=r2,