考研数学3模拟试题

2010年的试题

2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试卷 （模拟一）

考生注意：本试卷共二十三题，满分150分，考试时间为3小时.

一、选择题：1-8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目

要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数f(x)

x(x 2)sin x

的可去间断点的个数为（ ）

（A）0; （B）1; （C）2; （D）无穷多.

（2）某商品的需求量Q对价格p的弹性为 pln3,已知该商品的最大需求量为1200，则需求量Q

关于价格p的函数关系是（）

（A）Q 1200 3 p; （B）Q 1200 3e p; （C）Q 1200 e 3p; （D）Q 1200 3p.

（3）设f(x,y,z)可微且f(x,y,z) 0，则下列各式中正确的是（ ） （A）

（C）

x y x y

y z z x

1; （B）

x y x y y z z x

1; z x

0.

y z

z x

1; （D）

y z

（4）下列命题中正确的是 （ ） （A）设正项级数 an发散，则an

n 1

1n

(n N)；

（B）设 (a2n 1 a2n)收敛，且liman 0，则 an收敛；

n 1

n

n 1

(C) 设 an, bn至少一个发散,则 (an bn)发散;

n 1

n 1n 1

2

(D) 设 an收敛,则 an收敛。

n 1

n 1

（5）设向量组 1, 2, 3线性无关，向量 1可由 1, 2, 3线性表示，向量 2不能由 1, 2, 3线性表示，则必有（ ）

（A） 1, 2, 1线性无关。 （B） 1, 2, 2线性无关。

（C） 2, 3, 1, 2线性相关。 （D） 1, 2, 3, 1 2线性相关。

（6）二次型f x1,x2,x3 x1 4x2 4x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3的规范形是

2

2

2

222222

（A）f z1 z2 z3 （B）f z1 z2 z3

（C）f z1 z2 （D）f z1。

222

2010年的试题

1

（7）设随机变量X,Y的分布律分别为X~ 1

4

0121 0 1,Y~1 4 21

1,且P{XY 0} 1，则下 2

列说法正确的是（ ）

(A) X,Y相互独立. (B) P{X Y} 1。

(C) P{X Y} 1. (D) P{X 0,Y 0} 1。

（8）设A和B为任意两个不相容事件，且P(A)P(B) 0，则必有（ ） （A）A和B不相容 （B）A和B相容 （C）P(AB) P(B) （D）P(A B) P(B)

二．填空题：9-14小题，每小题4分，满分24分,请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）已知当x 0时e （10）

（11）交换积分次序 dx

12

2 x2x x

2

x

2

2

lncosx 1与kx是等价无穷小量，则k 10

dx(1 x) x

.

f(x,y)dy= .

（12）微分方程2x2y (x y)2满足y(1) 1的特解是 .

2

（13）设A 1

0

120

0 1

0 ，矩阵B满足ABA* 2BA* 9A，则B 。 1

2x,0 x 1

（14）设随机变量X的概率密度函数为f(x) ，用Y表示对X的3次独立重复观察

0,其它

中事件{X

12

}出现的次数，则P{Y 2} _____.

三．解答题：15-23小题，满分94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）(本题满分10分) 已知f x 是可导函数，它在x 0的某邻域内满足关系式：

fe

2x

x

2

2

0(x)，求曲线y f x 在点 1,f 1 处的切线方程.

2

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（16）(本题满分10分) 证明：不等式0

（17）(本题满分10分) 计算

D

x2

ln

x 1x 1

1

13(x 1)

2

，当x 1时成立。

x y

2

2

22

2

,其中D:y a a x(a 0) 和直

22

4a x y

线y x围成区域.

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（18）(本题满分10分)（I）求级数

n 0

nx

2n 1

n

(2n 1)4

的收敛域;（II）求此级数在收敛域内的和函数.

（19）(本题满分10分) 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0) f(1) 0。f(x)在[0,1]上的最小值是 1，试证至少存在一点 (0,1)，使f ( ) 8.

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（20）(本题满分11分) 设 1, 2为2个线性无关的3维列向量， 1, 2是与 1, 2均正交的3维非零列向量。证明：（I） 1, 2线性相关;（II） 1, 2, 1线性无关。

（21）(本题满分11分) 已知二次型

f X

T

AX x1 ax2 x3 2x1x2 2ax1x3 2x2x3(a 0)，若矩阵A的特征值有重根，

222

（I）求a的值;（II）用正交变换X PY化二次型为标准形，并写出所用坐标变换;（III）如果

A* kE是正定阵，求k的值。

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xe y,0 x y .

（22）(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

其它. 0，

(I) X,Y是否独立?为什么? (II) 求fX|Y(x|y); （III）求P{X 1|Y 2}；

（IV）求P{min(X,Y) 1}.

2

（23）(本题满分11分) 设总体X~N(u, )，X1, ,Xn是X的一个样本，令

Y

1n

n

i 1

Xi u，试求E(Y),D(Y).