第四章 矩阵的特征值和特征向量

第四章 矩阵的特征值和特征向量§4.1 相似矩阵法国数学家柯西 法国数学家柯西: 柯西:给出了特征方程的术语, 给出了特征方程的术语, 证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值 给出了相似矩阵的概念, 给出了相似矩阵的概念, 证明了相似矩阵有相同的特征值

英国数学家凯莱 英国数学家凯莱: 凯莱:方阵的特征方程和特征根(特征值) 方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论

德国数学家克莱伯施 布克海姆(A.Buchheim)等 德国数学家克莱伯施, 布克海姆(A.Buchheim)等: 克莱伯施,证明了对称矩阵的特征根性质

泰伯(H.Taber): 泰伯(H.Taber):引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论

1854 年, 法国数学家约当 法国数学家约当矩阵化为标准型的问题

§4.2 §4.3 §4.4

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

一. 问题 设P 1AP 求A11. A = PΛP 1 Λ Λ11 1 4 , Λ = 1 0 , = Λ, P = 1 1 0 2 1 0 = 0 211

A11 = (PΛP 1)(PΛP 1)(PΛP 1)…(PΛP 1) Λ Λ Λ Λ = PΛ11P 1 Λ

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

二. 相似矩阵的定义 A与B相似(similar): P, s.t. P 1AP =B. 相似(similar): 记为A 记为A~B. 易见, 易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; 反身性: (2) 对称性: A~B B~A; 对称性: (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 传递性: 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. 等价. 但反之未必. 且A与B相似 A与B等价. 但反之未必.

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

三. 相似矩阵的性质 性质1 性质1. 设A~B, 则|A| = |B|. 证明: AP| |B 证明: P 1AP = B |P 1AP| = |B| |P 1|×|A|×|P| A|×|P| |P| 1×|A|×|P| A|×|P| |A| 性质2 r(A r(B 性质2. 设A~B, 则r(A) = r(B). 证明: 证明: P 1AP = B r(A) = r(B). r(A r(B = = = = = =

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

a11 a12 a21 a22 A= … … a n1 a n2

… a 1n … a2n … … … a nn

A的迹(trace): tr(A) = a11 + a22 + … + ann tr(A (1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A tr(A tr(B (2) tr(kA) = ktr(A); tr(k tr(A (3) tr(AB) = tr(BA). tr(AB) tr(BA).

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§4.1 相似矩阵

性质3 性质3. 设A~B, 则tr(A) = tr(B). tr(A tr(B 证明: 证明: P 1AP = B tr(B tr(P AP) tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1) tr(APP = tr(A). tr(A

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§4.1 相似矩阵

四. 相似对角化(diagonalize) 相似对角化(diagonalize) 1. 定义: 定义: A~Λ =

λ1 0 … 0 0 λ2 … 0… … … … 0 0 … λn

= P 1AP

P = (ξ1, …, ξn)可逆 ξ1, …, ξn线性无关 P 1AP = Λ AP = PΛ (Aξ1, …, Aξn) = (λ1ξ1, …, λnξn)

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

2. 条件: 条件: 定理4.1. 定理4.1. An×n ~ 对角矩

阵 λ1, …, λn和线性无关的ξ1, …, ξn, s.t. Aξi = λiξi (i = 1, …, n). 在此条件下, 在此条件下, 令 P = (ξ1, …, ξn), Λ = diag(λ1, …, λn), 则P 1AP = Λ.

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.2 特征值与特征向量

§4.2 特征值与特征向量 一. 定义 n阶方阵 特征值(eigenvalue) 特征值(eigenvalue)

Aξ = λξ非零向量 非零向量

对应

特征向量(eigenvector) 特征向量(eigenvector)

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§4.2 特征值与特征向量

特征值 特征矩阵 Aξ = λξ 特征向量 (λE–A)ξ = 0 |λE–A| = 0 特征方程(characteristic equation)

λE–A特征多项式(characteristic polynomial)

λ–a11–a21 |λE–A| = … – a n1

–a12 λ–a22 … – a n2

… –a1n … –a2n … … … λ–ann

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§4.2 特征值与特征向量

二. 计算 1. 理论依据 定理4.2. 定理4.2. (1) λ0为A的特征值 |λ0E–A| = 0. (2) ξ为A的对应于λ0特征向量 (λ0E–A)ξ = 0. 2. 步骤 计算| 计算|λE–A| 求|λE–A| = 0的根 求(λE–A)x = 0的基础解系

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§4.2 特征值与特征向量

3 1 例 1. 求 A = 的特征值和特征向量. 的特征值和特征向量. 1 3 λ –3 1 = (λ–2)(λ–4). 解: |λE–A| = 1 λ –3 所以A 所以A的特征值为λ1=2, λ2=4. x1 + x2 = 0 对于λ1=2, (2E–A)x = 0 即 x x = 0 1 2 x1 1 解之得 =k x2 1 (0 ≠ k ∈ R).

k (0≠k∈R). (0≠ A的对应于λ1=2的特征向量为 =2的特征向量为 k

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§4.2 特征值与特征向量

3 1 例 1. 求 A = 的特征值和特征向量. 的特征值和特征向量. 1 3 λ –3 1 = (λ–2)(λ–4). 解: |λE–A| = 1 λ –3 所以A 所以A的特征值为λ1=2, λ2=4. x1 + x2 = 0 对于λ2=4, (4E–A)x = 0 即 x + x = 0 1 2 x1 1 (0 ≠ k ∈ R). 解之得 =k x2 1 k (0≠k∈R). (0≠ A的对应于λ2=4的特征向量为 =4的特征向量为 k

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§4.2 特征值与特征向量

1 1 0 的特征值和特征向量. 例2. 求 A= 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2

解: |λE–A| = (λ–2)(λ–1)2. 所以A 所以A的特征值为λ1=2, λ2= λ3= 1. 对于λ1=2, 求得( 的基础解系: 求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于λ1=2的特征向量为kp1 (0≠k∈R). =2的特征向量为 (0≠ 的特征向量为kp 对于λ2=λ3=1, 求得( 的基础解系: =(– 求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. =1的特征向量为 (0≠ 的特征向量为kp 对应于λ2=λ3 =1的特征向量为kp2 (0≠k∈R).

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§4.2 特征值与特征向量

解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特

征向量为kp1 (0≠k∈R). 的特征向量为kp (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: 的基础解系: p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).

2 1 1 的特征值和特征向量. 例3. 求 A= 0 2 0 的特征值和特征向量. 4 1 3

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§4.2 特征值与特征向量

三. 性质 性质4 性质4. 设A~B, 则|λE–A| = |λE–B|. 性质5 性质5. 设A = (aij)n×n的特征值为λ1, …, λn, 则 (a (1) λ1 + … + λn = tr(A). tr(A (2) λ1×…×λn = |A|. |A 推论. 可逆 推论. A 可逆 λ1, …, λn全不为零. 全不为零. 性质6 性质6. |λE–A| = |λE–AT|.