全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及答案完整

全国2014年4月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示 单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 (C)1．设行列式

a11a12a21a22

=3，删行列式

a112a12 5a11

a212a22 5a21

B．-6 D．15

=

A．-15 C．6

(A)2．设A，B为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A)=3，则r(B)= A．1 C．3

B．2 D．4

(B)3．设向量组 1=(1，0，0)T， 2=(0，1，0)T，则下列向量中可由 1， 2线性表出的是 A．(0，-1，2)T C．(-1，0，2)

T

B．(-1，2，0)T D．(1，2，-1)

T

(D)4．设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若 1， 2为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为 A．k 1 C．k

1 2

2

B．k 2 D．k

1 2

2

注：Ax 0有两个不同解 Ax 0有非零解；这里只有 1 2 0一定成立

（C）5．二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x2+x3-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩阵是

222

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

234

6．3阶行列式52第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=___0_____．

11

234

A21 A22 A23 111 （代数余子式与所在元素本身取值无关）0

111

7．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A*|=___4_____．

1 102 30 1 T

8．设矩阵A= ，B= ，则AB=___ 010010 011-l

9．设A为2阶矩阵，且|A|=，则|(-3A)|=________．

33

0

_____． 1

10．若向量组 1 =(1，-2，2)T， 2=(2，0，1)T， 3=(3，k，3)T线性相关，则数k=____-2____． 11．与向量(3，-4)正交的一个单位向量为____

1

(4,3)T____． 5

2x1 x2 3x3 0

12．齐次线性方程组 的基础解系所含解向量个数为___1_____．

2x x 3x 023 1

13．设3阶矩阵A的秩为2， 1， 2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为___k( 1 2) 1,其中k为任意常数_____．

14．设A为n阶矩阵，且满足|E+2A|=0，则A必有一个特征值为___

1

_____． 2

111

E 2A |2(E A)| 2n|E A| 0 |E A| 0

222

15．二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+x2+x3的正惯性指数为____2____．

2

2

2

1

E A 1

1

1 1

1 ( 1)( 2)

1

三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)

324

16．计算行列式D=

413224133241

的值.

14

解：D

23314223144124=1032131

142131411111

31204 4

20 3 1 2=10=102 11=1001 3= 80 302 11

1 1212 1

10 11 2

a21a22a23 a11a12a13

17．设矩阵A= a21a22a23 ，B= a11 3a31a12 3a32a13 3a33 ，求可逆矩阵P，使得PA=B.

a a31a32a33 31a32a33

解：

a21a22

r1 r2

A a11a12

a

31a32a23

r2 3r3a13 B a33

100 010

01 3 100 A B 001 001

010 P= 10 3

001

112 100

18．设矩阵A= 223 ，B= 211 ，矩阵X满足XA=B，求X.

433 122

解：由题可知AX B

TTT

12312 1 10032 11 32 11

(AT,BT) 123012 010 3 211 XT 3 211

233012 00111 3 11 3 3 31

21∴X 2

1111 3

19．求向量组 1=(1，-1，2，1), 2=(1，0，1，2), 3=(0，2，0，1), 4=(-1，0，-3，-1),

5=(4，-1，5，7)

T

T

T

T

T

的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

1

1 解：( 1, 2, 3, 4, 5) 2 1

1012

0 14 1

20 1 0

0 35 0

1 17 0

0100

0 21

013

1 10

000

∴向量组 1, 2, 3, 4, 5的秩为2，一个极大线性无关组为 1, 2, 3，且

4= 2 1 2 3, 5 1 3 2

20．求线性方程组 的通解．

(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

解：记该方程组为Ax b，对其增广矩阵作初等行变换有

1012 1 1 2131 40 (A,b) 123 4 5 0 1 1 213 0

∴与原方程组同解的方程组为

100

12 1

1 3 2

000

000

x1 x3 2x4 1

x2 x3 3x4 2

T

T

∴其对应齐次方程组的一个基础解系为( 1, 1,1,0),( 2,3,0,1)

T

令自由变量x3 0,x4 0得原方程组的一个特解为( 1, 2,0,0)

所以原方程组的通解为k1( 1, 1,1,0) k2( 2,3,0,1) ( 1, 2,0,0)，其中k1,k2为任意常数。

200

21．已知矩阵A= 021 的一个特征值为1，求数a，并求正交矩阵Q和对角矩阵 ，

01a

TTT

使得QAQ= ．

解：∵ 1为A的一个特征值

-1

10

∴由特征多项式E A 0 1

1 2 a 0 a 2

11 a

2

由 E A

00

0 2 10

1 ( 1)( 2)( 3) 0得 2

A的特征值为 1=1, 2 2, 3 3

当 =1时，解方程组(E A)x 0得特征向量 1 (0, 1,1)T 当 =2时，解方程组(2E A)x 0得特征向量 2 (1,0,0)T 当 =3时，解方程组(3E A)x 0得特征向量 3 (0,1,1)T 由于A为实对称矩阵，则其特征向量两两正交，故只需将其单位化：

γ1

1 1,1)T,γ2 2 (1,0,0)T,γ3 3 T

123100

0 1

, 2 ，则 3 0 令Q (γ1,γ2,γ3) 1

Q 1AQ QTAQ 2

3

22．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22-2x32+4x1x2+2x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．

22

解：f(x1,x2,x3) x12 3x2 2x3 4x1x2 2x2x3

22

(x1 2x2)2 x2 2x3 2x2x3 2 (x1 2x2)2 (x2 x3)2 x3

y1 x1 2x2 120

令 y2 x2 x3即y 01 1 xCx y x 001

3 3

222

∴标准型为f y1 y2 y3

120100 1001 2 2 1 2 2