关于无穷级数求和的研究及应用

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导读：无穷级数第30卷第6期大庆师范学院学报 JOURNALOFDAQINGNORMALUNIVERSITYVol．30No．62010年11月November，2010 关于无穷级数求和的研究及应用陈文生（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁223800）摘要：无穷级数是高等数学教学中的一个重要概念。通过从无

无穷级数

第30卷第6期大庆师范学院学报

JOURNALOFDAQINGNORMALUNIVERSITYVol．30No．62010年11月November，2010

关于无穷级数求和的研究及应用

陈文生

（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁223800）

摘要：无穷级数是高等数学教学中的一个重要概念。通过从无穷级数部分和的子序列的角度，把级数求和的问题

给出了一种判断级数敛散性的方法，并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断转化为数列极限的计算问题，

级数敛散性中的某些应用。

关键词：无穷级数；极限；部分和序列；子序列方法；敛散性

作者简介：陈文生（1978－），男，江苏宿迁人，宿迁高等师范学校数学系讲师，从事基础数学的教学与研究。

中图分类号：O173文献标识码：A文章编号：2095－0063（2010）06－0062－03收稿日期：2010－05－16

1引言及预备知识

无穷级数的敛散性以及求和是高等数学中一个重要而有趣的研究课题，长期以来备受人们的关注。很多学者做了大量工作，对某些具有特殊通项表达式的无穷级数的敛散性或求和总结出一些规律性的解

1］－［4］）。本文从无穷级数部分和的子序列的角度，法（见文献［把级数求和的问题转化数列极限的计算

给出了一种判断级数敛散性的方法，并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的问题，

某些应用。

数列｛Sn｝的敛散性可由其子列来研究，并且有一个重要的结论。

［5］引理1：数列｛Sn｝收敛的充分必要条件是｛Sn｝的任一子列都收敛，且有相同的极限。

特别地，由引理1，可得

引理2：数列｛Sn｝收敛于S的充分必要条件是｛Sn｝的两个子列｛S2n｝和｛S2n－1｝都收敛于同一极限。此时，称两个子列｛S2n｝和｛S2n－1｝为互补子序列。

可将引理2推广到一般情形。

｛Spn－1｝，定理1：数列｛Sn｝收敛于S的充分必要条件是｛Sn｝的p（p是某个正整数）个子列｛Spn｝，

…｛Spn－（p－1）｝都收敛于同一极限S。

p=2时，证明当p=1，结论显然成立；下面证明当p=3时结论成立，其他情形类似可证。由引理1

“必要性”“充分性”。｛Sn｝的3个子列｛S3n｝，｛S3n－1｝，｛S3n－2｝都收敛于同一极可知显然，只要证明由条件，

“ε－N”限S，于是，由数列收敛的定义可得，对任意的ε＞0，存在一个充分大的正数N＞0，当n＞N时，

此时n=3k或n=3k－1或n=3k－2，从而有|S－Sn|＜ε，故证得数列｛Sn｝收敛于S。

2主要结果

若an收敛，则其通项an→0（当n→∞时）。此时，若部分和数列｛Sn｝的子序列｛S2n｝收敛于S，注n=1∞

S2n－1→S－0=S，意到S2n－1=S2n－a2n，则当n→∞时，这意味着｛S2n－1｝也收敛于S。再由引理2，可得Sn

即an收敛，且其和为S。于是有下面定理。→S，n=1

定理2：若级数an的通项an→0（当n→∞时），则an收敛于S的充分必要条件是部分和数列｛Sn｝n=1n=1

2，…）收敛于S。此时，mS=S。的子列｛S2n｝（n=1，an=Slin→∞2nn=1∞∞∞∞

进一步，可将定理2推广到一般情形：

定理3：若级数an的通项an→0（当n→∞时），则an收敛于S的充分必要条件是部分和数列｛Sn｝n=1n=1∞∞

无穷级数

n=1，2，…）收敛于S。的一个子列｛Spn｝（p是某个正整数，

p=2时，证明：当p=1，结论显然成立；只证当p=3时结论成立，其他情形类似可证。由引理1可

“必要性”显然。由条件S3n→S及an→0（当n→∞时），S3n－2=S3n－a3n－a3n－2，知注意到S3n－1=S3n－a3n，

S3n－2→S（当n→∞时），从而S3n－1→S，于是，由定理1可知Sn→S，再由级数收敛的定义an知收敛于S。n=1

充分性得证。

定理3给出了判断无穷级数收敛以及求和的一种方法。对于一般级数，由极限有关知识易验证通项an→0（当n→∞时），n=1，2，…），因此只要能找到其部分和的某一个收敛子列｛Spn｝（p是某个正整数，

［6］并求出极限S，即可求得级数an的和为S。已有文献中，把这种方法称为子序列方法。另一方面，我们n=1∞∞

则原级数必还可从相反角度用子序列方法来判定无穷级数发散。若能找到级数部分和的一个发散子列，

由定理3，采用反证法可证得。发散。于是，

n=1，2，…），推论4：若级数an的部分和数列｛Sn｝中存在一个发散子列｛Spn｝（p是某个正整数，则n=1∞

原级数发散。

3结论应用

本小节我们给出子序列方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的某些应用。

例1：求交错级数（－1）n=1∞n－11的和。n

解：原级数=1－

出一个重要的公式［6］11111+－+－+…，观察后，考察部分和数列的子列｛S2n｝的极限。首先给23456

111=C+lnn+εn++…+n23：1+（1）

且εn→0（当n→∞时）。其中C=0．577216…称为Euler常数，对于原级数，并由（1）式可知

111111S2n=1+++…+－2（++…+）2n2n2324

=1+111111－（++…+++…+）n2n2312

=C+ln2n+ε2n－C－CLNN－εn

=ln2+ε2n－εn→n2（当n→∞时）。

所以，由定理3知，原级数收敛，其和为S=ln2。

例2：计算

1+11111111111+（－）+++（－）+++（－）+…。23245637894

解：易知此级数通项an→0（当n→∞时），观察原级数后，考察部分和数列的子列｛S3n｝的极限。对于原级数，并由（1）式可知

S3n=1+

=1+111111－－（++…+－－…－n+13n2323111111++…+－（1+++…+－1）3nn+12323

=C+ln3n+ε3n－（C+ln（n+1）+εn－1）→ln3+1（当n→∞时）。

所以，由定理3知，原级数收敛，其和为S=ln3+1。

例3：在例1的基础上，求证将级数（－1）n=1∞n－11=ln2重排后的新级数n

1+11111111－++－++－+…3257496113ln2。2的和为

证明：易知重排后的新级数通项an→（当n→∞时），并考察其部分和数列的子列｛S3n｝的极限。方

∞n－11S'4n→ln2。便起见，记级数（－1）的部分和为S'n，显然，当n→∞时，观察新级数，并由（1）式可得n=1n

S3n=k=1n(111+－4k－34k－12K)

无穷级数

=S'4n+

=S'4n+111++…+2n+22n+44n1111（++…+）2n+1n+22n1（C+ln2n+ε2n－C－lnn－εn）2113（ln2+ε2n－εn）→ln2+ln2=2（当n→∞时）。222

3ln2。2

∞n－1n=1故由定理3，重排后的新级数的和为注：可将例3推广到一般情形，重排级数（－1）

项，然后如此交替，可证所得新级数的和为ln2+1的各项，使先依次出现p个正项，再出现q个负n1pln。（只要考察新级数的部分和数列的子列2q

｛S（p+q）n｝（n=1，2，…）即可证明，3］）。具体证明见文献［

例4：证明调和级数

n=1∞1111++…+=1++…发散。23nn

证明：考察调和级数的部分和数列｛Sn｝（此时p=1），并由（1）式知

111Sn=1+++…+23n

=C+lnn+εn→+∞（当n→∞时，并注意到lnnn→+∞）

故调和级数发散。

例5：证明级数

111111111+－++－++－+…发散。23456789

证明：虽然此级数的通项an→0（当n→∞时），但它的部分和数列的一个子列｛S3n｝是发散的。

111111S3n=1+++…+++…+）－2（3n3n2336

=1+111211++…+－（1++…+）233n32n

2（C+lnn+εn）3=C+ln3 …… 此处隐藏：2306字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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