(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)

模拟试题1

一、填空题: (每小题2分,共8分)

dy

p(x)y Q(x) 0的通解是dx

2. M(x,y)dx N(x,y)dy 0是全微分方程(恰当方程)的充要条件

② ;

d4yd3yd2y

3. 方程4 23 52 0的通解是dtdtdt

4. 方程 y'' 2y' y xex的特解可设为二、是非判断题: (每小题2分,共12分)

1. 方程

dX

A(t)X b(t)的复值解(这里dt

(t)、 (t)、b(t)都是实向量函数,A(t)是实矩阵函数),那么X (t)是微分方

dX

A(t)X b(t)的解; 程组dt

d2y

2. 方程2 a2y 0(a是实数)的通解是y C1cos(x) C2sin(x);

dx

dX

f(X)其中3. 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组dt

dV

定正,那么这个方程组的零解渐近稳定; f(X) 0）的全导数dt

4. 方程y'' a(x)y' b(x)y c(x)(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个

线性无关的解;

dX

A(t)X的基解矩阵,那么必存在可逆5. 如果 (t)、 (t)均为方程组dt

常数矩阵C使得 (t) (t)C成立;

dy

6. 方程:x=0时y=0的解只有y=0 .

dx

三、(24分)求解下列各方程:

1. 如果X (t) i (t)是微分方程组

dy1 y2

1． =

dxxy x3y

; 2.

dy1=; dxxy x3y3

dyydy dy

3. exy; 4. x 2y x 0.

dxxdx dx

2

四、(20分)求下列各方程的通解:

1. x'' x' 2x 8sin2t;

五、(14分)解方程组:

dx

dt y z dy

x y dt

dz x z dt

2. t2x'' 4tx' 6x 0.

2,当0 x 1时，

六、(12分)已知微分方程y' y g(x),其中g(x)=

0,当x 1时.

试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间(0,1),(1, )内满足上述方程.

七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:

dx dx3

2x 8siny y x dtdt 2． dy dyx

2 e 3y cosy x y5

dt1． dt

模拟试题2

一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）

1．方程y (y )4 x2y 0是(非.

2．若方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0（M(x,y)，N(x,y)连续）是全微分

方程，则M(x,y)，N(x,y)满足关系 .

dy

f(x,y)

3．李普希兹条件是保证初值问题 dx解唯一性的 条

y(x0) y0件.

dy

p(x)y q(x)（p(x),q(x)∈C(a,b)）, 则其任一dx

解的存在区间是 .

2

dy2dy x y 0，只需作变换即可将5．对于欧拉方程 x2

dxdx

其化为常系数线性方程.

6．对于二阶方程x a(t)x 0，其由解x1(t),x2(t)所构成的Wronski

行列式必为 .

7．对于常系数线性齐次方程组 A ，若常系数矩阵A的特征根的

实部都是负的，则方程组的任一解当t ∞时 .

g

8．单摆运动方程 sin 0可化为一阶方程组 .

ml

二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）

4．对于一阶方程

1．

dy

ex ydx

2．

dyy

dx2x y2

3．(x y)dx 2xydy 0

5.x a2x t 1

7.xx (x )2 0

2

dy2dyx2

4.y () x

dxdx2

6.x x sint

三．（本题11分）

1．何谓 (t)是线性齐次方程组 A 的基解矩阵？

2 33

2．试求系数矩阵A= 4 53 上述方程组的基解矩阵.

4 42

四．讨论题：（本题12分） 研究方程

dy2

yn 2 dxx

1.当n=1, 方程是什么类型的方程？并求解之。

2当n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。

五．证明题：（本题10分）

设x1(t),x2(t)是方程x a1(t)x a2(t)x 0的基本解组，则线性非齐次方程

x a1(t)x a2(t)x f(t)，满足初始条件 (t0) (t0) 0的解可表为

(t)

( x1(t)x2(s) x2(t)x1(s))

f(s)ds（其中w 为解x1(t),x2(t)所成的Wronski

wt0

t

行列式），试证明之.

模拟试题3

一、填空题：（每小题3分，共21分）

1. 方程y (y )5cosx siny 0的阶数是dy

P(x)y的通解是 ； 2. 方程dx

3. (x,y)是方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0的积分因子的充要条件是 ③ ；

d2xdx

4. 方程2 3 2x 0的通解是 ；

dtdt

5. 方程y'' 2y' 2y excosx的特解可设为 ；

6. 如果x1 t,x2 sint,x3 et是某个二阶线性非齐次方程的特解，那么

这个方程的通解是 ⑥ ；

7. 方程y x y满足条件y(0) 1,y (0) 0的解有 个. 二、是非判断题：（每小题2分，共10分）

dX

A(t)X b(t)的复值解（这里8. 如果X (t) i (t)是微分方程组dt

，那么X (t)是微分 (t)、 (t)、b(t)都是实向量函数，A(t)是实矩阵函数）

dX

A(t)X b(t)的解. 方程组dt

d2y

9. 方程2 a2y 0（a是实数）的通解是y Asin(ax) Bcos(ax).

dx

10. 方程y'' a(x)y' b(x)y c(x)（其中a(x),b(x),c(x)连续）可以有三个线性无关的解.

dX

11. 如果 (t)是n维方程组=A(t)X的基解矩阵，C是n阶可逆常数矩

dt

dX

阵，那么 (t)C也是方程组=A(t)X的基解矩阵.

dt

dy

12. 方程x=0时y=0的解只有y=0.

dx

三、（24分）求解下列各方程：

dyydy

x(1 y2)； 1. 2. =；

dxx y2dx

dyy3. -=ex； dxx

y

22

dy dy

4. 2x y 0.

dx dx

3

四、（18分）求下列各方程的通解： 1. x'' x sint； 五、（15分）

2. t2x" tx' x 0.

x1 12

(1) 求方程组 X AX, X , x A 43 一基解矩阵；

2

et 12

(2) 利用常数变易法求方程组 X AX+F(t) F(t)= ，A 满足初

43 1

1

始条件 X（0）= 的特解X(t).

1

2,当0 x 1时，

六、（12分）已知微分方程y' y g(x)，其中g(x) 试求一

0,当x 1时. 连续函数y y(x)，满足条件y(0) 0，且在区间 (0,1),(1, ) 内满足上述方程.

模拟试题4

一、填空题: (每小题3分,共21分)

1. 方程y (y )5 siny ex的阶数是dy

P(x)y的满足条件y(x0) y0的特解是2. 方程dx

3. 方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0存在只与y有关的积分因子μ=μ(y)

的充要条件是 ③ ;

d2xdx

6x 0的通解是 ④ ; 4. 方程2

dtdtd2xdx

6x t 1的特解可设为5. 方程2 5

dtdt

6. 方程y 4y 5y e2xsinx的特解可设为 ⑥ ;

7. 方程y x2 siny满足条件y(0) 1,y (0) 0的解有 ⑦ 个. 二、是非判断题: (每小题2分,共10分)

dX

A(t)X b(t)的复值解(这里1. 如果X (t) i (t)是微分方程组dt

(t)、 (t)、b(t)都是实向量函数,A(t)是实矩阵 …… 此处隐藏：4581字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……