浙江大学10-11 偏微分方程试卷

浙江大学10-11 偏微分方程试卷,是一整套试卷

浙江大学20 10 –20 11 学年 冬季 学期

《偏微分方程 》课程期末考试试卷 课程号： 061B0090__，开课学院：_理学学院_

考试试卷：√A卷、B卷（请在选定项上打√）

考试形式：√闭、开卷（请在选定项上打√），允许带__无____入场 考试日期： 2011 年 1 月 13 日,考试时间： 120 分钟

诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！

做在试卷纸上的一律无效！

请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _

一．（20分）判别下列二阶线性偏微分方程

u 2u 2u 2u22cossin sin=0 + xxx22 y x y y x

的类型，并求出满足条件u

二．（20分）(1). 已知函数e+∞ x2y=sinx=x, u y=1的解。 y=sinx的Fourier变换为e2 λ2/4,试求函数e Ax的2Fourier逆变换，其中常数A>0。 (2). 利用等式∫ ∞f(x)dx=12π∫+∞

∞F(f)(λ)dλ (其中F(f)表示2

函数f(x)的Fourier变换) 以及Fourier变换的性质证明：初值问题

2u 4u =0, ∞<x<+∞, t>0 t2 x4 u u= (x),=ψ(x)t=0 tt=0

浙江大学10-11 偏微分方程试卷,是一整套试卷

存在有限能量解u(t,x)（即存在依赖函数 (x)和ψ(x)的常数M使得

2 ∫ ∞u(t,x)dx≤M<+∞, t∈(0,+∞)）的充分必要条件是ψ(x)= x2。 +∞2

2 (3). 试在条件ψ(x)=2下求出上述初值问题的有限能量解u(t,x)。 x

三．（20分）利用对称延拓法求解下列半无界初边值问题 2u 2u=x, x>0,t>0 2 2 x t u=2 xx=0 13 u = =0ux, t=0 6 tt=0

四．（20分）用分离变量法求解： 2u 2u+2=0, 0<x<1,y>0 2 y x

u u=0, =0 xx=1 xx=0

uy=0=1 x, limy→+∞ u(x,y)=0

五．（20分）用分离变量法求解： u 2u u=t exsin(2π x), 0<x<1, t>0 2+2 x t x ux=0=0, ux=1=0

x uesin(5π x) = t=0