电动力学复习题

第一篇范文：电动力学复习题

1、有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为?，使介质球内均匀带静止

自由电荷?f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。

由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。

当r?r1时，D1?0， E1?0。

4

?(r3?r13)?f 3

33

(r3?r1)?f(r3?r1)?f

，E2? ， ?D2?22

3?r3r

3

(r3?r1)?f

向量式为E2?r 3

3?r4332

当r?r2时， 4?rD3??(r2?r1)?f

3

3333

(r2?r1)?f(r2?r1)?f

E3? ?D3?22

3?r3r0

当r1?r?r2时， 4?rD2?

2

向量式为E3?

(r2?r1)?f

3?0r

3

33

r

（2）当r1?r?r2时，

?p????P????(D2??0E2)????(D2?

??(1?

?0

D2) ?

?0?

)??D2??(1?0)?f ??

当r?r1时，

?p??n?(P2?P1)??n?(D2?

当r?r2时，

?0?

D2)??(1?0)D2??

r?r1

?0

?

?p?n?P2?(1?0)D2

?

r?r2

?0r23?r13

?(1?)?f 2

?3r2

2、内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为?，求磁感应强度和磁化电流。

解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径

为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 r?r1 时，由安培环路定理得：H1?0,B1?0

当 r1?r?r2 时，由环路定理得：2?rH2?Jf?(r?r1) 所以 H2?

2

2

Jf(r2?r12)

2r2r

?(r2?r12)?(r2?r12)

???JfeJf?r 向量式为 B2?

2r2r2

22

当 r?r2 时，2?rH3?Jf?(r2?r1)

所以 H3?

，B2?

?(r2?r12)

Jf

Jf(r22?r12)

2r

，B3?

?0(r22?r12)

2r

Jf

向量式为 B3?

?0(r22?r12)

2r

???Jfe

?0(r22?r12)

2r

2

Jf?r

（2）当 r1?r?r2 时，磁化强度为

(r2?r12)??

M?(?1)H2?(?1)Jf?r 2

?0?02r

???

所以 JM???M???[(?1)H2]?(?1)??H2?(?1)Jf

?0?0?0

在 r?r1 处，磁化面电流密度为

?M?

1

M?dl?0 2?r1

在 r?r2 处，磁化面电流密度为

?M

向量式为 αM

(r22?r12)1?

?0?M?dl??(?1)Jf 22?r2?02r2(r22?r12)???(?1)Jf 2

?02r2

3、在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差?0；（2）导体球上带总电荷Q. 解答：

（1）当导体上接有电池，与地保持电势差?0时。以地为电势零点。本问题的定解条件有

?内??0(R?R0)

??外＝0 （R?R0)

其中?0是未置入导体球前坐标原点的电势. 根据题意设

2

s??0???外|R????E0Rco?

且 ?

?|???0?外R?R0

?外??(anRn?

n?0

?

bn

)Pn(cos?) Rn?1

根据边界条件可求得

2

， bn?0(n?1) a0??0， a1??E0， an?0(n?1)， b0?(?0??0)R0， b1?E0R0

所以有

?外

3

(?0??0)R0E0R0

??0?E0Rcos???2(R?R0)

RRcos?

（2）当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的条件：

??2?内?0(R?R0)?2

???外?0(R?R0)?

?|?有限??内R?0

??外|R????E0Rcos???0?

??内＝?外|R?R0?

?????外ds?Q(R?R)

00??R?根据边界条件设

?内＝?anRnPn(cos?)

n?0

?外??0?E0Rcos???

根据边界条件可以求得

bn

P(cos?) n?1n

Rn?0

?内?

Q4??0R0

??0 (R?R0)

3

E0R0

?外??cos??E0Rcos?(R?R0)2

4??0RR

Q

5、真空中有电场强度为E0的均匀电场，将半径为R的一个均匀介质球放到这个电场中。已知球的电容率为?，求各处的电场强度和极化电荷。

解：先求电势?，然后由电势求得电场强度E，再求极化电荷。

由于没有自由电荷，电势?满足拉普拉斯方程。以球心为原点，E0方向为极轴方向，取球坐标。根据对称性可知，电势?只是r和?的函数。因为所考虑的区域包括极轴（??0和???）在内，电势?在极轴上应该是有限值，所以所求电势?可写为如下形式

?(r,?)??(Alrl?

n?0

?

Bl

)Pl(cos?)，剩下的问题就是由边界条件定出各个系数 l?1r

由于球内外是两个不同的区域，电势?的表达式不同，令球内的电势为?i，球外的电势为?0，再由边界条件分别定出他们的系数。 （1）无穷远处的边界条件

在无穷远处，电场应该趋向于原来的电场E0，即?0

r??

??E0rcos?

为方便，将原来的电场E0在r?0点的电势取为零。比较两者的系数，可得

A0?0,A1??E0,Al?0(l?2)

所以

?0(r,?)??E0rcos???

Bl

P(cos?) l?1lrn?0

?

（2）球心的边界条件

在球心r?0处，电势?i应该是有限值，所以其中的系数Bl?0 所以

?i(r,?)??AlrlPl(cos?)

n?0

?

（3）球面上的边界条件 在球面上r?R电势连续，即

?0(R,?)??i(R,?)

D的法向分量连续

?0(

??0??)R??(i)R ?r?r

将前面得到的电势方程在R代入电势连续方程，比较两边Pl(cos?)的系数，可得

B1?R3(A1?E0)，Bl?R2l?1Al(l?1)

将前面得到的电势方程在R代入法向连续方程，比较两边Pl(cos?)的系数，可得

l?R3?

R2l?1Al(l?1) B1??(E0?A1)，Bl??

(l?1)?02?0

比较得到的四个方程，可得到

A1??

3?0???03

E0，B1?RE0

??2?0??2?0

Al?0，Bl?0，(l?1)

这些系数分别代入前面的?i和?0，即得到所求得电势为 …… 此处隐藏：966字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……