二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用(3)

二重积分和三重积分

1

1

2

x

1．计算I??x2dx?e?ydy.

解 D?{(x,y)|0?x?1,x?y?1}可表为D?{(x,y)|0?y?1,0?x?y}，于是，有

I??x2dx?e?ydy???x2e?ydxdy??dy?e?yx2dx?

x

D

11221y2

11?y2311

eydy??2. ?0363e

2．计算I???xydxdy，其中D为由曲线xy?1，xy?2，y?x，y?4x，(x?0，

D

y?0)所围成的区域.

解 作变换u?xy,v?

y

，在此变换下，新的积分区域为 x

D1?{(u,v)|1?u?2,1?v?4}，

其雅可比行列式

D(x,y)1x1

???，

D(u,v)D(u,v)2y2v

D(x,y)

从而，有换元公式I???xydxdy???u

D

D1

12

dudv?(22?1)ln2. 2v3

3．求由曲线r?a(1?cos?)所围成的图形的面积. 解A???dxdy?2

D

?0

?

d??

a(1?co?s)0

rdr

?

??a(1?cos?)d???4acos

?

22

?

24

?

3

d???28a2cos4tdt??a2.

022

4．设f(x)存在连续的导数，且f(0)?0，试求

lim1

t?0?t4

x2?y2?z2?t2

???

f(x2?y2?z2)dxdydz.

?x?rsin?cos??

解 作球坐标变换?y?rsin?sin?，则0?r?t,0????,0???2?. 于是有

?z?rcos??lim1t?0?t41t?0t4

x2?y2?z2?t2t

???

f(x2?y2?z2)dxdydz?lim

1t?0?t4

?0

2?

d??d??f(r)r2sin?dr

?t

?lim

?0

f(r)r2dr?lim

t?0

f(t)f(t)?f(0)

?lim?f?(0). t?0tt?0

x2y2z2

5．计算???zdxdydz，其中?是椭球体2?2?2?1的上半部分.

abc?

解 ?在z轴上的投影为区间[0,c]，在区间[0,c]内任取一点z， 过该点作平行于xOy面的平面，与椭球体的截面为一椭球面Dz，Dz可表为

Dz?{(x,y)|

x2a2(1?

z)2c

c

2

?

y2b2(1?

z)2c

2

?1}.

z2?2

zdxdydzzdzdxdy??ab(1?)zdz?abc. ????0???02

4c?Dz

c

6．计算???x2?y2dxdydz，其中?是由不等式z?x2?y2，1?z?4所围成的

?

空间闭区域.

解 设?1?{(r,?,z)|r2?z?1,0???2?,0?r?1},

?2?{(r,?,z)|r2?z?4,0???2?,0?r?2}.

于是有

???

?

x2?y2dxdydz????x2?y2dxdydz????x2?y2dxdydz

?1

?1

??

2?0

d??rdr?2rdz??

r

242?0

d??rdr?2rdz?

r

11

124

?. 15

7． 证明：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，g(x,y)在D上可积且不变号，则存在一点(?,?)?D，使得??f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)??g(x,y)dxdy.

D

D

证 由函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则必存在最大值M和最小值m，使

?(x,y)?D，有m?f(x,y)?M，从而

m??g(x,y)dxdy???f(x,y)g(x,y)dxdy?M??g(x,y)dxdy.

D

D

D

若

??g(x,y)dxdy?0

D

，则

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

?f(?,?)??g(x,y)dxdy?0，对

D

?(?,?)?D，恒成立. 若??g(x,y)dxdy?0，则有m?

D

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

??g(x,y)dxdy

D

?M，

由介值定理，存在(?,?)?D，使f(?,?)?

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

??g(x,y)dxdy

D

,等式成立. 当

g(x,y)?0时，同样也有等式成立.

8．设函数f(x,y)定义在D?[0?x?1,0?y?1]，且?y?[0,1]，

若x是无理数，?1,

f(x,y)??2

?3y,若x是有理数.

证明 （1）f(x,y)在D上不可积；（2）累次积分?dx?f(x,y)dy存在；（3）先

11

对x后对y的累次积分不存在. 证明 （1）考虑区域D1?[0?x?1,

2

?y?1]?D. 3

用平行于坐标轴的直线将区域D1任意分成n?m个相等的小矩形

Dik(i?1,2,?,k?1,2,?)。由于f(x,y)在Dik上的振幅

?ik(f)?|1?3(

所以f(x,y)在D上不可积.

（2）?x?[0,1].

22

)|?1, 3

当x是无理数，f(x,y)?1，?f(x,y)dy?1.

1

当x有理数，f(x,y)?3y2，?3y2dy?1.

1

所以累次积分?dx?f(x,y)dy存在.

11

（3）?y0?[0,1](y0?

?xk?

13

)，将[0,1]等分成n个小区间，其长

1

,k?1,2,?,n. f(x,y)在小区间上的振幅?k[f(x,y0)]?|1?3y02|???0。n

所以先对x后对y的累次积分不存在.

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