二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用

第一篇范文：同济大学高数第10章 重积分

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.

10.1 二重积分的概念及性质

10.1.1 二重积分的概念

实例1 设函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)?0．以函数z?f(x,y)所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V．

图10.1.1 图10.1.2

对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点(x,y) 在D上变动时,其高度z?f(x,y)是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下

第一步(分割).用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域??1,??2,???i,???n，其中记号??i (i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体?V1，?V2?，?Vi?，?Vn，其中记号?Vi(i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．

第二步(近似)．因为f(x,y)在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域??i上任取一点(?i,?i)，以f(?i,?i)为高，??i为底的小平顶柱体的体积f(?i,?i)??i作为第i个小曲顶 276

柱体体积?Vi的近似值，即

?Vi?f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)．

第三步(求和)．这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即

V???Vi??f(?i,?i)??i．

i?1i?1nn

第四步(取极限)．对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值??0 (有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有

V?lim?f(?i,?i)??i． ??0i?1n

实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D，此薄片在点(x,y)?D处的面密度为?(x,y)，且?(x,y)在D上连续．求该薄片的质量M．

如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点(x,y)的位置而变化，我们仍然可

以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域D任意分

成n个小块??1，??2?，??n；由于?(x,y)在D上连续，只

要每个小块??i (i = 1，2，?， n)的直径很小，这个小块就可

以近似地看作均匀小薄片．在??i上任取一点(?i,?i)，用点(?i,?i)图10.1.3 处的面密度?(?i,?i)近似代替区域??i上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片??i的质量的近似值

?Mi??(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)；

整个薄片质量的近似值为

M???(?i,?i)??i．

i?1n

将薄片无限细分，当所有小区域??i的最大直径??0时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量，

即 M?lim??(?i,?i)??i． ??0i?1n

尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．

根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f(x,y)在底面区域D上的二重积分，即

V???f(x,y)d?；

D

278

例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数?(x,y)在其所占闭区域D上的二重积分，即

M????(x,y)d?．

D

关于二重积分的几点说明．

(1) 如果函数f(x,y)在区域D上的二重积分存在，则称函数f(x,y)在D上可积．如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积．

(2) 当f(x,y)在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点(?i,?i)的取法无关．

(3) 二重积分只与被积函数f(x,y)和积分区域D有关．

二重积分??f(x,y)d?的几何意义．

D

(1) 若在闭区域D上f(x,y)?0，二重积分表示曲顶柱体的体积；

(2) 若在闭区域D上f(x,y)?0，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；

(3) 若在闭区域D上f(x,y)有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．

10.1.2 二重积分的性质

二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．

第二篇范文：二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算

一、定积分的计算

例1用定积分定义求极限.

1a?2a???nalim(a?0). a?1n??n

1x1?a?i?1a

解原式=lim??????xdx=

n??1?an0i?1?n?

n

1a

1

?

1

. 1?a

例2求极限 lim?

xn?x

2

n??0

dx.

解法1由0?x?1，知0?

1

1

xn?x2

?x，于是0??

n

1

xn?x2

dx??xndx.

1

1xn?11xnn

dx=0. ??0?n???，由夹逼准则得lim?而?xdx?

002n??n?10n?1?x

解法2利用广义积分中值定理

?

?

b

a1

， f?x?g?x?dx?f????g?x?dx（其中g?x?在区间?a,b?上不变号）

a

b

xn?x

n

02

?

1??

2

n

?

1

xndx?0??n?1?. 由于0?

1??

2n

?1，即

1??

2n

有界，

11xn

dx=0. ?0xdx?n?1?0?n???，故lim02n????x1

注 （1）当被积函数为Rx,a2?x2或Rx,x2?a2型可作相应变换.

1

?

???

如对积分?对积分

dx

2x

2

?1?x

2

，可设x?tant；

2ax?x2?a2?x?a2

?

2a

x2ax?x2dx?a?0?，由于

，可设

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