2017第五届“认证杯”数学建模网络挑战赛C题(3)

4.1.1.1 分析荒漠区不同干扰下植物地上生物量、啮齿动物生物量的变化趋势

为了分析荒漠区不同干扰下植物地上生物量、啮齿动物生物量的变化趋势，我们根

据题中所给的数据，分别绘制了过牧区、轮牧区植物地上生物总量变化趋势图以及过牧区、轮牧区啮齿动物生物总量变化趋势图，如下图：

图一：过牧区植物地上生物总量变化趋势图

图二：过牧区啮齿动物生物量变化趋势图

图三：轮牧区植物地上生物总量变化趋势图

图四：轮牧区啮齿动物生物量变化趋势图

由图一可以看出：在过牧区，7月到10月里植物地上生物量发生了明显的下降；由图二可以看出：在过牧区，7月到10月里啮齿动物生物总量发生了明显的下降；由图三可以看出：在轮牧区，7月到10月里植物地上生物量发生了明显的上升；由图四可以看出：在轮牧区，7月到10月里啮齿动物生物总量发生了明显的下降；

总而言之，由题中数据可以得到，过牧区与轮牧区的不同影响着植物地上生物总量的增减，但对于啮齿动物生物总量来说，由于都在减少，因此现在看来没有什么影响。

4.1.1.2 揭示不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系

为了研究荒漠生态系统在不同干扰条件下动物群落和植物群落之间的相互影响和变动关系，我们对题中给出的2 种干扰类型（轮牧区、过牧区），应用“典型相关分析(CCA)”方法，分析动植物群落之间的相关性。在每种干扰类型中动物群落变量组由群落组成种的百夹捕获率、生物量比例构成，植物群落变量组由灌木的高度、盖度、密度及生物量和草本的高度、盖度、密度及生物量构成，进行两组变量整体之间的相关性分析。

其中，“典型相关分析(CCA)”方法是研究两组变量之间的相关性。例如，研究一组变量指标(x1,?,xp)与其相应的另一组变量指标(y1,?,yq)之间的相关性，当p?q?1时，就是两个变量之间的简单相关分析问题；当p?1,q?1时，就是一个因变量与多个自变量之间的多元相关分析问题;当p、q均大于1时,就是研究两组多变量之间的相关性。

利用题中数据和MATLAB编程（见附件），以过牧区7月为例，由编程得到的三类典型变量依次是：

u=

0.2056

0.1817

-0.0433

0.1338

-0.5739

-0.6737

-0.4016

-0.0661

v=

-0.4320

0.5117

-1.1304

典型相关系数为

0.7159

因此，我们得到了不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系。

4.2 问题二的求解

4.2.1 模型的建立

啮齿动物群落的稳定性与群落中啮齿动物的生物总量有关，当7月和10月的啮齿动物的生物总量相差较大（从图中数据可以10月看出动物生物总量一般小于7月的生物总量）时，也体现出此时群落的稳定性较差，反之，稳定性较强；与此同时，群落的稳定性还与这三种优势种动物在群落中的比例有关，当7月和10月的三种优势种动物占各自生物总量的比值相近时说明群落的稳定性较高，反之，稳定性较低。我们需要构建一个群落稳定性的评价量，同时进行归一化处理，定义了重复项为i时的稳定性评价量Zi： 2?3?Xn(10月)Xn(7月)?2??Ni(10月）??N（7月）i??? ??Zi?????????N(10月）N(7月）??N（i7月）i???n?1?i??

我们将重复项为i时的稳定性评价量Zi作为因变量，将对应重复项i时的X4(10月）-X4（7月)、X5(10月）-X5（7月)、X6(10月）-X6（7月)、X7(10月）-X7（7月)、X8(10月）-X8（7月)、X9(10月）-X9（7月)、X10(10月）-X10（7月)、X11(10月）-X11（7月)作为自变量，分别设为y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7、y8。因为上述的自变量正是干扰引起的啮齿动物赖以生存的食物的变化，他们对啮齿动物群落的稳定性起着较大的作用。我们需要上述寻找出自变量中哪些是影响群落稳定性的主要因素。因为这8个自变量值的数量级不同，因此如果利用回归的方法难以根据回归系数得到哪个自变量是主要因素，因此，我们采用灰色关联的方法。灰色关联方法是指在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。

根据上式和题中提供的数据可以算出对应的自变量值和因变量值,见下表：