中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧

中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧

一、圆的两个定义:

1、圆的描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

2、集合性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的的图形（形成的轨迹）叫做圆.

二、利用圆的概念“找定点寻定长现圆形”

题目：（2018西工大附中七模14）

例1.如图1-3所示，在¨ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔAB’P,当DB’最小时，线段CP长为.

方法：找定点寻定长现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点，而翻转后AB的长也固定不变，所以AB为定长.则B’的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆，如图1-3-1所示，当点A、B’、D在一条直线上时DB’最小，最小值为DB’’.可计算得：DB’的最小值为2

二、共点的两条线段为定长问题

例2.如图2-1所示，点A为线段BC外一动点，且BC=8，AB=5.

（1）当点A位于时，线段AC的长取得最大，最大值为.

（2）当点A位于时，线段AC的长取得最小，最小值为.

（3）当线段BC和AB满足什么位置关系时，S

面积最大.

ΔABC

方法总结：

当两条线段定长共点时，可固定其中一线段，然后以公共点为圆心，以另一定长线段为半径画圆.

简析：如图2-1-1

点，为8+5=13

（1）线段AC最大时，点A在A

1

（2）线段AC最小时，点A在A

点，为8-5=3

2

（3）因为BC固定，点A位于A

时，点A到BC之间的距离最大，所以当

3

面积最大.

AB⊥BC时，S

ΔABC

巩固练习：

1.已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为.

2.（1）发现

如图2-2，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.当点A位于时，线段AC的长取得最大，最大值为（用含a，b的式子表示）；

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2-3所示，分别以AB，AC 为边，作等边△ABD和等边△ACE,连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出BE长的最大值.

（3）拓展

如图2-4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0）点B的坐标（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

3.如图2-5,如果四边形ABCD中，AD=BC=6,点E、F、G分别是AB、BD、AC 的中点，那么ΔEGF面积的最大值为.

三、共点的三条线段为定长问题

1、如图3-1所示，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,则∠CAD的度数为.

2、如图3-2所示，在四边形ABCD中，

DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,BD= .

提示：如图3-2-1所示.

四、见直角找斜边（定长）想直径定外心显圆形

知识联想：

直径所对的圆周角等于90o；反过来90o的圆周角所对的弦是直径.故取斜边中点O为圆心，以OC长为半径作圆.直角顶点的运动轨迹是圆.

例1：（2018西工大附中六模14）

如图4-2，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且AF⊥EF,则AE的最小值.

对应练习：

1.如图4-3，在等腰RtΔABC中，∠ACB=90o,AC=BC=4,点D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为.

五、定角定边模型——构造圆

问题：

如图5-1所示，已知定线段AB，在平面上找到所有的点C，使∠ACB=60o.（请用尺规作图，保留痕迹）

作图方法：

1、作AB的垂直平分线

2、再作∠ABD=30o,连接AO.（其实质是作圆心角∠AOB=120o）

3、以点O为圆心，以OA为半径画圆,除过A、B两点外圆上任意一点即为C 点.即∠ACB=60o.

例：（2018交大附中七模14）

如图5-2,已知四边形ABCD中，AD=2,∠B=∠D=60o，对角线AC⊥AD，则BD 的最大值为.

对应练习：

1.如图,在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60o,∠ADC=75o,对角线BD=2,则四边形ABCD的面积的最小值为.（此题为旋转+定边定角）

六、对角互补的四边形构造圆

若平面上四点连成四边形的对角互补则这四点共圆.

例：1（2018西工大附中四模14）

如图6-2，在边长为12的菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAO=60O,点E为AB上一动点，过点E作EP⊥AD于点P，EQ//AC交BD于点Q，连接PQ，ΔDPQ周长的最小值是.

对应练习：

1.如图，在ΔABC中，∠ACB=120o,AC=BC=2,点D是AB边上动点，连接CD，将ΔBCD绕点C顺时针旋转至ΔACE，连接DE，则ΔADE面积的最大值是.