北京邮电大学版_线性代数_课后题答案2

1

习题四（A类）

1.用消元法解下列方程组.

x1+4x2 2x3+3x4=6, 2x+2x+4x=2, 124

3x1+2x2+2x3 3x4=1, x+2x2+3x3 3x4=8;(1) 1

【解】(1)

(2)

x1+2x2+2x3=2,

2x1+5x2+2x3=4, x+2x+4x=6; 123

6

r4 r1

1 r2 r1 →r3 3r2 1 8

1 2

(A b)=

3 1

4 2320422 323 3

6 1

11

r2 2 2 →

31

8 1

4 23

10222 323 3

14 236 0 32 1 5

( 1) r2 r3

→ 0 12 9 2 0 25 62 14 236 1 01 292 0

r+3r32 → r4+2r2

0 32 1 5 0 0 25 62 0 1 0 0 0

得

4 231 290 4260112

4 236 1

01 292 r+4r43 → 001126

0 4261 0

4

100

6 2 r4 r3 →1 6

236 292 ,1126

07425

x1+4x2 2x3+3x4=6 x 2x+9x=2 234

x3+12x4=6 74x4=25

所以

1

187 x= , 1

74

x=211, 274

x=144, 374 25 x4=.

74

(2)

x1+2x2+2x3=2

2x1+5x2+2x3=4 x+2x+4x=6 123

解② ①×2得

③ ①得得同解方程组

①②③

x2 2x3=02x3=4

x1+2x2+2x3=2

x2 2x3=0 2x=4 3

由⑥得x3=2,

由⑤得x2=2x3=4,由④得x1=2 2x3 2x2= 10,得(x1,x2,x3)T=( 10,4,2)T.2.求下列齐次线性方程组的基础解系.

④⑤⑥

(1)

x1+3x2+2x3=0,

x1+5x2+ x3=0, 3x+5x+8x=0; 123

x1+ x2+2x3+2x4+7x5=0,

2x1+3x2+4x3+5x4 =0, 3x+5x+6x+8x =0; 1234

(3)

【解】(1)

x1 x2+5x3 x4=0, x+ x 2x+3x=0, 1234

3x1 x2+8x3+ x4=0, x+3x2 9x3+7x4=0;(2) 1

x1+2x2 2x3+2x4 x5=0,

x1+2x2 x3+3x4 2x5=0, 2x+4x 7x+ x+ x=0. 12345

(4)

x1+3x2+2x3=0,

x1+5x2+x3=0, 3x+5x+8x=0. 123

132 132 132

r2 r1r3+2r2 02 1 02 1 A= 151 →→

r3 3r1 358 0 42 000

得同解方程组

1

7

x= 2x 3x= x3,32 1

2

x1+3x2+2x3=0

1 x=x3,2 2x2 x3=0 2

x3=x3,

得基础解系为

7

2

1 1 2 .

T

(2)系数矩阵为

1 15 1 1 15 1 11 23 02 74

r3 r2r2 r1

A= → →r3 3r1r4 2r2

3 181 r4 r1 02 74 13 9704 148 1 15 1 02 74 r(A)=2. 0000 0000

∴其基础解系含有4 R(A)=2个解向量. x1 3x3 x 2

2

x1 x2+5x3 x4=0 7

= x3 2 2x2 7x3+4x4=0

x3 x3

x 4

基础解系为

3

x4 2 1

2 7 2x4=x3+x4 2 0 1 1

x4 0

3

2 7 , 2 1 0

(3)

1

2 . 0 1

1

1122A= 2345

3568

112r3 2r2 → 010

000

得同解方程组

7 11227

r2 2r1 0101 14 →0 r 3r 31

0 0202 21

27 1 14 07

x1+x2+2x3+2x4+7x5=0,

x2+x4 14x5=0, 7x5=0 x5=0.

x3 1 0 x = 0 , 1

取 4 得基础解系为

( 2，0，1，0，0)T,( 1， 1，0，1，0).

(4)方程的系数矩阵为

12 2A= 12 1

24 7

12r3+3r2 → 00

002 1 12 22 1

r2 r1 0011 1 →3 2 r 2r 31

11 00 3 33

22 1

R(A)=2,11 1

000

x2 0 1 0

x = 0 , 0 , 1 , 4 1 0 0 x5 3 2 4 0 1 0 1 , 0 , 1 . 0 0 1 1 0 0

∴基础解系所含解向量为n R(A)=5 2=3个

x2

x 4 x

取 5 为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.

x1+x2+2x3=1, 2x x+2x=4, 123

x1 2x2=3, 4x+x2+4x3=2;(1) 1

(2)

2x1+x2 x3+x4=1,

4x1+2x2 2x3+x4=2, 2x+x x x=1; 1234

1

(3)【解】

（1）方程组的增广矩阵为

x1 2x2+x3+x4=1,

x1 2x2+x3 x4= 1, x 2x+x+x=5; 1234

x1+x2+x3+x4+x5=7,

3x+2x+x+x 3x= 2, 12345

x2+2x3+2x4+6x5=23, 5x+4x2+3x3+3x4 x5=12.(4) 1

11 2 1

(A b)=

1 2

41

2204

112 0 3 2

000

00 2

得同解方程组

1 11

0 34 r 2r21 → r3 r1

3 r4 4r1 0 3 2 0 31 1

01

r4 r32 2 →

00

4 021

22 r3 r2

→r4 r2

22

4 2 121 3 22 012

000

x3=2,

x1+x2+2x3=1

2+2x3

3x 2x=2 x== 2, 223

3 x=2 3

x1=1 x2 2x3= 1.

(2)方程组的增广矩阵为

21 111 21 111

r3 r1 000 10 (A b)= 42 212 →

r2 2r1 21 1 11 000 20

得同解方程组

2x1+x2 x3+x4=1,

x4=0, x4=0 2x4=0,

即

2x1+x2 x3=1,

x4=0.

x=x3=0得非齐次线性方程组的特解令1

xT=(0，1，0，0)T.

又分别取

x2 1 0 x = 0 , 1 3

得其导出组的基础解系为

1

1 ξ1= ,1,0,0 ; 2

∴方程组的解为

T

1 ξ2= ,0,1,0 ,

2

T

1 1

0 2 2

1 1x=+k1 +k2 0 .k1,k2∈R 0 0 1 0 0 0

1 2111 1 2111 1 21 1 1 r2 r1 000 2 2 →r r 31 1 2115 00004 (3)

R(A)≠R()∴方程组无解.

(4)方程组的增广矩阵为

1

3

(A b)=

0 5 1 0r3+r2

→ r4 r2

0 0

分别令

1214

117 7 11111

0 1 2 2 6 23 1 3 2 r 3r31 → r4 5r1

0122623 2623

3 112 0 1 2 2 6 23 11117 1 2 2 6 23 ,00000

00000

1123

得其导出组

x3 0 1 0 x = 0 , 0 , 1 4 1 0 0 x5

x1+x2+x3+x4+x5=0

x2 2x3 2x4 6x5=0

的解为

5 1 1 6 2 2 k1 0 +k2 1 +k3 0 00 1 1 0 0 x=x4=x5=0,令3

k1,k2,k3∈R.

得非齐次线性方程组的特解为：xT=( 16,23,0,0,0)T,∴方程组的解为

1

16 5 1 1 23 6 2 2 x= 0 +k1 0 +k2 1 +k3 0 000 1 0 1 0 0 k,k,k其中123为任意常数.

4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳 …… 此处隐藏：7276字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……