1.5.1-2定积分的概念

1.5 定积分的概念

问题: 你会求哪些平面图形的 面积，这些平面图形有什么特点？

问题提出

1.任何一个平面图形都有面积，其中 矩形、正方形、三角形、平行四边形、 梯形等平面多边形的面积，可以利用 相关公式进行计算.2.如果函数y=f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.

一. 求曲边梯形的面积1.曲边梯形 ：在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x),直线x=a、 x=b 及x 轴所 围成的图形叫做曲边梯形。y

y=f (x)

x=aO a

x=bb x

P

放大

P

再放大

P

因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线(即在很小范围内以直代曲).

y = f ( x) y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A A1.

y = f ( x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A,得 A A1+ A2

y

y = f(x)

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A, 得 A A1+ A2+ A3+ A4

y = f ( x) y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的

y 几何画板 曲边梯形的面积。 (1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间：

1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n每个区间的长度为 i i 1 1 x n n ny x2

O

1 n

2 n

k n

n n

x

过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作

S1 , S2 , , Si , , Sn .

y

2 近似代替y x2

记f x x .2

如图 1.5 3 , 当n很大 , 即 i 1 i x很小时, 在区间 , n n 上, 可以认为函数f x x 2 的值变化很小, 近似等于一 个常数, 不妨认为它近似地 i 1 等于左端点 处的函数 n i 1 .从图形上看, 就是 x 值f n 用平行于x轴的直线段近似

oy

i 1 i n n

1 x

图1.5 3y x2

o

i 1 i n n

1

图1.5 4

y

地代替小曲边梯形的曲y x2

边 图1.5 4 .这样, 在区 i 1 i 间 , 上, 用小矩形 n n 的面积 Si' 近似地代替 Si , 即在局部小范围内 "以直代曲", 则有 Si i 1 S f x n ' i

oy

i 1 i n n

1 x

图1.5 3y x2

o

i 1 i n n

1

x

图1.5 4

i 1 1 i 1, 2, , n . n n

2

3 求和n i 1

由 2 ,图1.5 4中阴影部分的

面积 S n 为' i n i 1

S n S 2

i 1 i 1 1 f x n n i 1 n n2

2

1 1 1 n 1 1 可以证明 0 n n n n n 2 21 2 2 2 3 1 2 n 1 n

1 2 n 1 n 1 n 2n 1 . 6

2

1 n 1 n 2n 1 1 1 1 3 1 1 . n 6 3 n 2n

1 1 1 从而可得 S的近似值 S Sn 1 1 . 3 n 2n

(2) 以直代曲(3)作和

i 1 i 1 2 1 Si f ( ) x ( ) n n nn

S S1 S2 Sn Sii 1

i -1 1 i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n

n

n

(4)逼近当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ,即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3

小结:求由连续曲线y f(x)对应的曲边梯形面积的方法(1)分割 (2)求面积的和 (3)取极限 n

引入

二、汽车行驶的路程

利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时 间的关系，求物体运动速度”的问题.反之，如果 已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时 间内经过的路程呢？问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt . 如果汽车作变速直线运动， 在时刻 t 的速度为 v t t 2 2 (单位：km/h) ,那 么它在 0≤ t ≤1(单位： h)这段时间内行驶的路程 S (单位：km)是多少？