连玉君_Logit模型STATA

计量分析与STATA应用

钟经樊连玉君

关于作者：钟经樊台湾中央研究院经济研究所

　　　　　连玉君中山大学岭南学院金融系

中文版本：版本2.0，二○一○年六月

II

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发布这份文档的目的有二：

其一，用做授课讲义，帮助岭南学院的同学们学习STATA；

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目录

第十五章Logistic模型

15.1简介.............................................15.2二元Logit模型.......................................

15.2.1二项分布......................................

15.2.2Logit变换.....................................

15.2.3Logistic模型....................................

15.2.4估计........................................

15.2.5假设检验.....................................

15.2.6模型的解释和拟合优度..............................

15.3多元Logit模型......................................

15.3.1估计........................................

15.3.2假设检验......................................

15.3.3拟合优度......................................

15.3.4模型的解释....................................

15.4STATA中有关Logitech模型的命令概览........................

III111122367121218272833

第十五章

Logistic模型

15.1简介

在过去的二十年中，logistic模型在众多领域得到了广泛的应用，甚至成为部分领域的标准分析方法。logistic模型与线性模型的最大区别就在于前者的被解释变量是二元变量(binary)或取值有限的离散变量(dichotomous)。这种区别使得两种模型的参数设定和假设条件都存在差异。在充分考虑这些差异的前提下，前面介绍的用于分析线性模型的基本规则同样适用于分析logistic模型。当然，由于logistic模型的非线性特征，在分析过程中还需要引入一些新的统计和评估方法。

15.2

15.2.1二元Logit模型二项分布

假设我们想要研究上市公司债务融资行为的决定因素，被解释变量yi为上市公司是否发行债务。显然，yi是一个二元变量，只有0和1两个取值，定义如下：

1若第i家公司发行债务yi=(15-1)0其它

我们可以将yi视为随机变量Yi的实现值，Yi有1和0两个取值，相应的概率分别为πi和1 πi。Yi服从贝努力(Bernoulli)分布，参数为πi，可表示为

y其中，yi=0,1.(15-2)PrYi=yi=πii(1 πi)1 yi,

显然，若yi=1，则上式为πi；若yi=0，则上式为1 πi。

易于证明，Yi的期望和方差分别为：

E(Yi)=µi=πi

Var(Yi)=σi=πi(1 πi)

1

15.2二元LOGIT模型2可见，期望和方差都决定于πi。任何影响概率的因素不但会影响观察值的的均值，也会影响其方差。这表明前面介绍的线性模型无法用于分析二元变量，因为线性模型假设方差是固定不变的。

15.2.2Logit变换

线性变换

为了使上述模型更富有弹性，我们假设概率πi受一系列变量的影响，设定为xi。一个非常直觉的想法是把二者之间的关系设定为线性函数：πi=xi β,其中，β为系数向量。该模型通常称为线性概率模型，采用普通最小二乘法估计即可。

其主要缺陷在于：由于等式左边的πi表示概率，所以必须介于0和1之间，而右边的线性组合项则可能取任何值，所以在不对模型做严格约束的情况下，我们很难保证模型的预测值介于合理的范围内。

logit变换

因此，我们必须对概率πi进行变换以消除对其取值范围的约束，继而把变换后的数值设定为解释变量xi的线性函数。处理过程包括两个步骤。

第一步，我们依据概率πi来定义胜算比(odds)：

i=πi,1 πi(15-4)

即yi=1的概率πi与yi=0的概率(1 πi)的比值。显然，胜算比可以取任意非负值，如此便可消除上限约束。

第二步，取对数以计算logit或log-odds

πilogit(πi)=ln( i)=ln1 πi (15-5)

这样我们就可以去除下限约束。因为，随着概率πi趋近于0，logit将趋近于 ∞；而当概率πi趋近于1，logit将趋近于+∞。因此，通过以上变换，logit将概率πi的取值范围从(0,1)映射至整个实数轴。显然，如果概率为0.5，胜算比为1，相应的logit为0。logit为负表示概率小于0.5，反之则表示概率大于0.5。图15-1说明了上述变换的对应关系。

15.2.3Logistic模型

在完成了上述变换后，我们就可以定义Logistic回归模型了，此时我们假设概率πi的Logit变换(而非概率πi本身)服从线性模型，即

πilogit(πi)=ln=xi β,(15-6)1 πi

其中，xi为解释变量构成向量，β为系数向量。

第十五章LOGISTIC模型3

由于logit变换是一一对应的，所以我们可以通过求取逆对数由Logit反向得到概率值(通常称为antilogit)。由(15-6)式可解得：

exp(xi β)π(xi)=.1+exp(xiβ)

进一步，将被解释变量表示为：

yi=π(xi)+εi.(15-8)(15-7)

其中，εi为随机干扰项，有两个可能的取值。若yi=1，则εi=1 π(xi)，相应的概率为π(xi)；若yi=0，则εi= π(xi)，相应的概率为1 π(xi)。因此，ε服从均值为0，方差为π(xi)[1 π(xi)]的分布。

综合上面的介绍，可以看出当被解释变量是离散变量时：

(1)模型的条件均值必须限定于0和1之间。显然，(15-5)的logit变换满足这一约束条件；

(2)干扰项服从二项分布，而非正态分布，且其分布受所分析样本的具体情况的影响；

(3)分析线性模型的基本准则同样适用于分析logit模型。

15.2.4估计

二元logit模型可以采用最大似然法(MLE)进行估计。式(15-7)定义了给定x的情况下Y=1的条件概率π(xi)，记为P(Y=1|x)。同样，1 π(x)表示在给定x的情况下，Y=0的条件概率。因此，第i个观察值对应的似然函数为：

π(xi)yi[1 π(xi)]1 yi.(15-9)

15.2二元LOGIT模型假设所有观察值都是彼此独立的，则样本似然函数为所有观察值对应的似然函数之积：

β)=L(βn

i=14π(xi)yi[1 π(xi)]1 yi.(15-10)

。为了方便求解，定义对数似我们的目的在于求得使(15-10)式最大时对应参数估计值β

然函数：n β)=lnL(βyiln[π(xi)]+(1 yi)ln[1 π(xi)](15-11)

i=1

一阶条件为：

β) lnL(β(yi πi)xi=0.=β βi=1n(15-12)

¯由(15-12)式可知：(1)若xi中包含常数项，则π i=y¯i，即预测概率的平均值等于样本中yi=1

的比例。(2)如果我们将yi πi看作一般化残差(generalizedresidual)，则(15-12)式与线性回归模型中的正交条件具有相似的含义。

采用牛顿迭代法可以很方便地得到参数的估计值。我们可以进一步求取二阶偏导如下：

n 2lnLβ)= πi(1 πi)xixi .H(β= β ββ βi=1(15-13)

通常把H称为海赛矩阵(Hessian)。由于Hessian始终为负定矩阵，所以对数似然函数可以在几次迭代后便达到全局收敛。

参数的 …… 此处隐藏：11463字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……