三角函数化简求值专题复习

三角函数化简求值专题复习

基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值：

2sin20 cos10 tan20 sin10

csc40 cot80

.

解：原式的分子 2sin20

2sin20

cos10 cos20

cos10 cos20 sin20 sin10

cos20

sin40 cos10

cos20

3

sin40 sin80

cos20

2sin60 cos20

cos20 1sin40

cos80 sin80

，

原式的分母＝

2cos40 cos80

sin80

cos40 cos40 cos80

sin80

cos40 cos20

sin80

cos40 2cos60 cos20

sin80

3

2cos30 cos10

cos10

，

所以，原式＝１．

2cos40 cos10 1 tan60 tan10

cos10

1 3

2cos40 2 cos10 sin10

2 2

2cos5

2 cos40 cos50

2cos5

2·2cos45 cos5

2cos5

2

【变式】1、求值

解：

原式

2cos40 cos10

2cos5

3sin10

2cos40 2cos 60 10

2cos5

【变式】2、求(

3sin

2

140

22

00

1cos

2

140

2

)

12sin10

12sin10

。

分析：原式=

3cossin

140140

sincos

2

140

140

sin140)

(3cos140

sin140)(3cos140( sin40cos40)

2

12sin10

00

4sin80 sin200

14sin

2

12sin10

8

sin200

80

sin80cos80

16

sin200sin160

16

【例2】（三兄弟）已知cos

sin

325

，且

3 2

，求

sin2 2sin

1 tan

2

的值

解：原式=∵cos

α sinα

sin2 cos 2sin cos

cos sin

325

2

=

sin2 cos sin cos sin

2α

1825

，上式两边平方，得：1 sin

∴sin2 ∴cos ∴ cos

725

；又∵

3 2

2

0，sin 0，cos sin 0

2

2

sin cos sin 4sin cos cos sin 2sin2

3225

∴cos

sin

425

，∴原式

42

25 5 7

325

2875

【变式】（05

天津）已知sin(

4

)

10

cos2

725

，求sin 及tan(

3

)．

【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

7210

sin(

4

)

22

(sin cos )，即sin cos

75

①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

725

cos2 cos sin (cos sin )(co s sin )

15

2

2

75

(cos sin )

故cos sin

35

②

由①和②式得sin 因此，tan

34

，cos

，由两角和的正切公式

3

tan(

3

)

tan 1

3

3 1

3tan

43 3 48 25

11334 334

π2

【例3】（最值辅助角）已知函数f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1，（a、b为常数，a<0），它的定义域为[0,域为[－3,1]，试求a、b的值。

解：f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1 =a(1－cos2x)－3asin2x+a+b－1 =－2asin(2x ∵0≤x≤

2

π6

) 2a b 1

]，值

∴

6

≤2x+

6

≤π ∴

6

7

12

≤sin(2x

π6

)≤1

∵a<0 ∴a≤－2asin(2x ∴3a+b－1≤－2asin(2x

6

6

)≤－2a

)+2a+b－1≤b－1

∵值域为[－3,1]

b 1 1∴

3a b 1 3

4

a ∴ 3 b 2

12

【变式】已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程x2 (2cos400)x cos2400 α)的值。

解：由韦达定理得sinα+sinβ=2cos400，sinαsinβ=cos2400-12

=0的两个实数根，求sin(β-5

∴ sinβ-sinα=(sin sin )2 (sin sin )2 4sin sin 2(1 cos2400) 2sin400 又sinα+sinβ=2cos400

1 0

sin (2cos40 2∴

sin 1(2cos400 2

2sin40) sin852sin40) sin5

∵ 0<α<β< 90

00

85∴

5

∴ sin(β-5α)=sin600=

32

2

【例4】（最值二次型）已知

解：∵

π6 β

π4

6

4

，3sin

2

2sin

2

2sin ，试求sin12

12

sin

2

的最值。

∴-

12

sin

22

，0 sin2

∴0 2sin2 1

∵2sin2 3sin2 2sin ∴0 3sin2 2sin 1

2

sin 1或sin 0 3sin 2sin 0 3

即

2

1 sin 1 3sin 2sin 1 0

3

2

∴

13

sinα 0或

12

2

23

sinα 1 12

2

y=sin2

sin (3sin 2sin )

12

sin

2

(sin

29

12

)

2

14

当sin ∈[

23

，1]时函数y递增，∴当sina=

13

23

时 ymin= ；

12

2

当sin ∈(

，0)时，函数y递减，∴当sin =0时，ymin=

23时，(sin

2

)无最大值

12

∴ 故当sin

12

sin

2

)min

29

,(sin

2

12

sin

【变式】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的最大值.

解：由y=2(cosx－

a2

的a值，并对此时的a值求y

)－

2

a

2

4a 22

及cosx∈［－1，1］得：

1 (a 2) 2 af(a) 2a 1 ( 2 a 2)

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