高三数学二轮专题复习教案(5)--平面向量

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高三数学专题复习教案――平面向量

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a xi yj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a (x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i (1,0)，

j (0,1)，0 (0,0)。a

AB

A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB

x2 x1,y2 y1 ，

3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量

a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法：

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①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减

法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b= a+ ( b)；

差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a b

③平面向量的坐标运算：若a (x1,y1)，b (x2,y2)，则a b (x1 x2,y1 y2)，

a b (x1 x2,y1 y2)， a ( x, y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)

7．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；

（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

8． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零

实数λ，使b=λa。

9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ

2

使a=λ1e1+λ2e2。(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ

2是被a

，e1，e2唯一确定的

数量。

10. 向量a和b的数量积：①a·b=| a|·|b|cos ，其中 ∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos 称为b在a的方向上的投影。③a·b

的几何

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意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是

向量④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a b x1x2 y1y2⑤运算律：a· b=b·a, (λ

a)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。⑥a和b的夹角公式⑦a a a2 |a|=x+y，

222

或|a

|=

x y

22

⑧| a·b |≤| a |·| b |。

11．两向量平行、垂直的充要条件 设a =（x1，y1）, b=（x2，y2） ①a⊥b a·b=0 ，a b

a b

=x1x2+y1y2=0；

②a//b（a≠0）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。

a//b x1y2 x2y1 0

12.点P分有向线段P1P2所成的比的 ： P1P PP2，P内分线段P1P2时, 0; P外分线段P1P2时, 0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式： x1 x2x1 x2 x x x1 x2 x3y1 y2 y3 1 2

、、 (,) 1

33 y y1 y2 y y1 y2

1 2

例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直

角三角形ABC中，若AB 2i j,

AC 3i kj，则k的可能值个数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B

例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与

OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，

|OC| ＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,

则λ+μ的值为 .

解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90

°角

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AOC=30

，=23得平行四边形的边长为2和4， 2+4=6

考点二：向量的运算

例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11

解：(a+2b)(1, 2) 2( 3,4) ( 5,6)，(a+2b)·c ( 5,6) (3,2) 3，选C

例4、(2008广东文)已知平面向量a (1,2),b ( 2,m)，且a∥b，则2a 3b=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）

解：由a∥b，得m＝－4，所以2a 3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。

例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2）， a b与a垂直，则

是（ ）A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

解：由于 a b 4, 3 2 ,a 1, 3 , a b a

∴ 4 3 3 2 0，即10 10 0 1，选Ａ

例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若AC a, BD b,则AF （ ）

1 1 A．a b

42

1 1 1 2

C. a b D. a b

2433111

解:AO a,AD AO OD a b,

222

2 1 B. a b

33

AE

12

(AO AD)

1 111 11

a b a a b, 2 222 24

由A、E、F三点共线,知AF AE, 1

而满足此条件的选择支只有B，故选B.

例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为120，|a| 1,|b| 3，则|5a b| ．

解：5a b

5a b 7

2

5a b

2

2 2

1 22

25a 10a b b=25 1 10 1 3 3 49，

2

考点三：定比分点

例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且

DC 2BD,CE 2EA,AF 2FB,则AD BE CF与BC( )

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

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AC 2AB1 2

解：由定比分点的向量式得:AD AC AB,同理，有：

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