【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(176)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（176）

______年______月______日

____________________部门

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3 第一试

一、填空题（每小题

8分，共64分） 1. 设。则。

1(1)()i n i n i

n i ix x g x C n -=-=∑(2014)g = 2. 设函数。若存在，使得，则实数的取值范围是。2()1n ()f x x x a a =+-∈R []1,b e ∈(())f f b b =a

3. 已知数列满足。则数列的通项。

4. 化简：。

5.

如图1，在中，已知为的中点，点分别在边上，且。则。 6. 已知，且。则。a b c ∈+R 、、12,45

a b c ab bc ca ++=++={}min max ,,a b c =

7. 已知是所在平面外一点，平面，。则点到平面的距离的最大值是。

P ABC ?αPA ⊥α

2

26,tan 3PB PC PBC ==∠=A PBC 8。的个位数字是。1000010010109????+?

? 二、解答题（共56分）

9。（16分）已知，圆，过圆上任意一点作的两条切线，切点分别为。

试求的最小值。

22:4O x y +=22:(5cos )(5sin )1()M x y θθθ-+-=∈R 10. （20分）设函数，其中，，且。()log (1)log (1)a a f x ax ax =+--0

a >1a ≠ （1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；1a >x ()log 8a f x x ≥a

（2）若，证明：。00()1f x x =-01x <

3 / 3 11。（20分）

设，。求的值。2013201213102200

1220132014()()f x a x a x a x a x x x x =++++=++01211,2,()n n n b b b b b n ++==+=∈N 20131i i i a b

=∑

加 试

一、（40分）设是外接圆上一点，分别是点在边上的射影。若点与分别在边的两侧，证明：。P ABC ?X Y Z 、、P BC CA AB 、、P A BC

BC CA AB PX PY PZ =+

二、（40分）已知函数，且满足。证明：对任意的正整数均有。[]1,1a b c ∈-、、22212abc a b c +≥++n 22212()n n n n abc a b c +≥++

三、（50分）设是的十进制写法中最后一个非零数字。证明：是无理数。n h !n 120.h h

四、（50分）在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人。在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友。证明：数学

家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如，

其中，是某个正整数）。2k k