8.2(正态总体的参数检验)

第 8章 假 设 检 验

8.2 正态总体的参数检验正态总体N( , 2)有两个重要参数均值 和方差 2,

在实际应用中常会用到单正态总体均值与方差的 检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题.

8.2.1

单正态总体均值与方差的检验

1. 单正态总体均值的检验设X~N( , 2), X1, X2, …, Xn为来自X的样本, x1, x2, …, xn为样本观测值, 对均值 的检验一般有下面三种形式 (1) 双边检验 H0: = 0 H1: 0 (2) 右边检验 (3) 左边检验 H0: 0 H0: 0 H1: > 0 H1: < 0

其中 0为已知常数. 下面分两种情况给出H0的拒绝域:

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

(1) 2为已知的情况由8.1.1知, 三种检验的检验统计量均可采用 在显著水平 下，H0的拒绝域分别为：Z X 0

/ n

x 0 x 0 x 0 z 2 z z z z | z | / n / n / n

这三种检验称为均值的Z检验.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

当 2未知时，由于 Z X 0 中含有未知的 ,不能再 / n 作为检验统计量. X 0 考虑S2是 2的无偏估计,且由定理6.3知 T ~ t ( n 1)

(2) 2为未知的情况

所以，改用 T S / n 作为检验统计量， 类似 2 已知的情形，在显著水平 下，上面三种检验的拒绝域分别为： x 0 x 0 x 0 t t ( n 1 ) t t ( n 1 ) | t | t ( n 1 ) 2 s/ n s/ n s/ n

X 0

S/ n

这三种检验称为均值的Z检验.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

【例8.3】某车间生产铜丝，其主要质量指标是折断力 的大小.用 X 表示该车间生产的铜丝的折断力.根据 过去的资料看，可以认为X ~ N(285,4).为提高折断力 , 今换一种原材料 , 估计方差不会有多大 变化.现抽取10个样品,测得折断力(单位:kg)为：289,286,285,284,286,285,285,286,298,292.

在0.05的显著水平下，检验折断力是否显著变大？ 解：按题意已知方差 2 = 16,需检验 H0: 285 此为右边检验. H1: > 285

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

解：按题意已知方差 2 = 16,需检验H0: 285 此为右边检验. 由于方差已知，应选用Z检验 在显著水平 = 0.05下，H0的拒绝域为： x 0 z z z0.05 z 1.645 其中 0 = 285 z / n 1 n 由样本观测值计算得 x xi 287.6 n i 1 x 0 287.6 285 z 2.05 1.645 落入拒绝域中， / n 4 10

H1: > 285

故在0.05的显著水平下应拒绝H0,认为折断力显著变大.

8.2.1

单正态总体均值与方差的检验[例8.3]实验演示 x 289 286 285 284 286 285 285 286 298 292 标准差 观测数 样本均值 检验水平 检验统计量 临界点

0 = 285 4 n = 10 x 0 z , 287.6 x = / n 0.05 z = 2.05548048 x 0 z z z = 1.64485363 / n 拒绝H0

1 n x xi , n i 1

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

【实验8.1】在Excel中做例8.3中的均值检验.实验准备： (1) 函数NORMSINV的使用格式： NORMSINV(probability) 功能：返回标准正态分布的分布函数的反函数 值.其中probability为标准正态分布的概率值.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

(2) 函数IF的使用格式：IF(logical_test, value_if_true, value_if_false)

功能：执行真假值判断，根据逻辑计算的真假值， 返 回 不 同 结 果 . 其 中 logical_test 表 示 条 件 表 达 式. value_if_true 为当 logical_test 为 TRUE 时返回的 值.value_if_false为当logical_test为FALSE时返回的 值.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

实验步骤：(1) 输入数据及项目名，如下图所示.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

(2) 在单元格D1中输入 0:285(3) 在单元格D2中输入标准差 :4

(4) 在单元格D3中输入公式计算观测数n:=COUNT(A2:A11)

(5) 在单元格D4中输入公式计算样本均值 x :=AVERAGE(A2:A11)

(6) 在单元格D5中输入显著水平 :0.05

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

(7) 计算检验统计量的观测值 ，在单元格 D6中输入公式：= (D4-D1)/(D2/SQRT(D3)) (8) 计算临界点z ,在单元格D7中输入公式：= - NORMSINV(D5) 9) 判断，在单元格D8中输入公式： =IF(D6>=D7,"拒绝H0","不能拒绝H0")

x 0 z / n

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

结果：由于z = 2.05548 > z0.05 = 1.64485,落入拒 绝域中，如下图所示.故在0.05的显著水平下应拒绝 H0,认为折断力显著变大.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

【例8.4】某元件使用寿命不得低于1000(小时),现 从一批元件中随机抽取25件，测得其寿命样本均值 为950,样本标准差为100.已知该种元件的寿命服 从正态分布，试问在 0.05 的显著水平下是否可以认 为这批元件合格? 左边检验 解：按题意需检验 H0: 1000由于方差未知, 选用t 检验,

H1: < 1000

在显著水平 = 0.05下H0的拒绝域为 x 0 t ( n 1) t t 0.05 ( 25 1) t 1.711 t s/ n

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

解：按题意需检验 H0: 1000 H0的拒绝域为

H1: < 1000

由于方差未知, 选用t 检验, 在显著水平 = 0.05下 x 0 t ( n 1) t t 0.05 ( 25 1) t 1.711 t s/ n x

0 2.5 1.711 现由n=25, x 950 , s = 100, 得 t s/ n

可知t 落入拒绝域中，

故在 0.05 的显著水平下应拒绝 H0, 认为这批元件不合 格.

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

【例8.5】某地区100个登记死亡人的样本中，其平均 寿命为 71.8 年，标准差为 8.9 ,试问这是否暗示现在 这个地区人的平均寿命不低于70岁( = 0.05 )? 左边检验 解：按题意需检验 H0: 70 H1: < 70 由于方差未知，选用t 检验，在显著水平 =0.05下， H0的拒绝域为

71.8 70 由n=100, x 71.8 ,s = 8.6, 得： t 2.02 1.645

x 0 t t ( n 1 ) t t0.05 ( 99) t 1.645 s/ n

t 未落入拒绝域 , 故在 0.05 的显著水平下 , 没有足够理由 拒绝H0,可以认为这个地区人的平均寿命不低于70岁.

8.9 / 100