八年级数学同步拔高第十一讲《相似之动点问题》讲义

相似之动点问题（讲义）

一、知识点睛

动点问题解决套路

1．研究基本图形，标注

基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．

2．分析运动过程，分段，定范围

关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．

3．根据不变特征建等式

依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．

1

2

二、 精讲精练

1． 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，AC :BC =4:3．点

P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿折线B →C →A 向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x （s ）．

（1）设△PBQ 的面积为y （cm 2），求y 与x 之间的函数关系 式，并写出自变量x 的取值范围．

（2）当Q 在BC 上运动时，是否存在以点B ，P ，Q 为顶点 的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在， 请说明理由．

（3）当Q 在CA 上运动，且PQ ⊥AB 时，以点B ，P ，Q 为 顶点的三角形与△ABC 是否相似？请说明理由．

A B C A B C A B C Q P C B A

3

2． 如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

OA ∥CB ，A (4，0)，B (3，3)．点M 从点O 出发以每秒2个单位长的速度向点A 运动，同时点N 从点B 出发，以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t （秒）．

（1）使线段AQ ，QM ，MA 能围成三角形的t 的取值范围 是_____________．

（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式．

（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

C B A O y x

x y O N M A B

C P Q

4

3． 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB =42，

∠B =45°．动点M 从点B 出发，沿线段BC 以每秒1个单位长的速度向终点C 运动，动点N 同时从点C 出发，沿折线C →D →A 以同样速度向终点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）．

（1）求在运动过程中形成的△MCN 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

（2）当N 在CD 上运动时，△MCN 能否成为等腰三角形？ 若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．

N

M

C B

D A A D

B C

A D

B C

A D

B

C

4．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(15，0)，B(10，12)．动点P，Q分别从O，B 两点同时出发，点P以每秒2个单位长的速度沿OA方向向终点A运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿BC方向向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB 于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q的运动时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形P ABQ是平行四边形？

（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；

（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？

三、回顾与思考

______________________________________________________ ______________________________________________________C B

A

O

y

x C B

A

O

y

x

x y

O A

B

C

P

Q

D

E

F

5

______________________________________________________

6